Körper, Ideal

18.01.2011, 12:29

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

Körper, Ideal

geg.: $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Körper, $\begin{eqnarray*} M = \left\{ p \in K\left[ x \right] : p\left( 0 \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Fragen (jeweils mit Begründung):
1) Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray*} K\left[ x \right] \end{eqnarray*}$ ?
2) Ist das Ideal maximal?
3) Ist das Ideal ein Hauptideal? (falls ja: Erzeuger angeben)

---

Ich glaube, die Aufgabe ist gar nicht so schwer, aber ich habe irgendwie keine Idee, wie ich da rangehen soll. Die Definitionen von Idealen habe ich mir angeschaut, aber insgesamt das Thema glaube noch nicht so ganz verstanden.
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen?! Danke!!

Hier mal meine Überlegungen, von denen aber sicher einige falsch sind...

zu 1) Würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray*} K\left[ x \right] \end{eqnarray*}$ ist, aber wie begründe ich das?
zu 2) Es ist maximal, da $\begin{eqnarray*} M \neq K\left[ x \right] \end{eqnarray*}$ und die einzigen Ideale, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind.
zu 3) Es ist kein Hauptideal, ich konnte keinen Erzeuger finden, $\begin{eqnarray*} \left( 1 \right) \end{eqnarray*}$ passt doch nicht als Erzeuger?! Und welcher käme sonst noch in Frage?!

18.01.2011, 12:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Zu 1)

Hier ist einfach folgendes zu prüfen:

$\begin{eqnarray*} 0 \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall p(x),q(x) \in M :p(x)-q(x) \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall p(x) \in M, r \in K:r \cdot p(x) \in M \end{eqnarray*}$

Dazu hilft es vielleicht, die Menge "umzuschreiben", denn $\begin{eqnarray*} M = \left\{ p \in K\left[ x \right] : p\left( 0 \right) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} M=\left\{ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0:a_i \in K~ \textbf{für}~i \in \left\{1,...n\right\}, a_0=0 \right\} \end{eqnarray*}$

Sicherlich liegt das Nullpolynom in M denn für x=0 aus dem Körper K ist das Polynom 0, das ist schon fast trivial.

Liegt die Differenz zweier Polynome auch noch in der Menge M?

Liegt jedes beliebige Vielfache eines solchen Polynoms in M?

Zu 2)

Hier muss man sich überlegen, ob es ein Ideal $\begin{eqnarray*} J \in K[x] \end{eqnarray*}$ gibt für das gilt: $\begin{eqnarray*} I \subset J \subset K[x] \end{eqnarray*}$

Zu 3)
Hier hilft weiter, dass jedes Ideal eines Polynomrings über einem Körper ein Hauptideal ist

18.01.2011, 13:07

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Danke, Igrizu, für deine Hilfe! Ich bin damit schon ein Stück weiter:

Zitat:

Original von lgrizu
Liegt die Differenz zweier Polynome auch noch in der Menge M?

Ja, weil $\begin{eqnarray*} p(x)-q(x) = (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x) - (b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_mb_mx^m+a_{m-1}b_{m-1}x^{m-1}+...+a_1b_1x \in M \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a_i, b_i \in K \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} a_i \cdot b_i \in K \end{eqnarray*}$ .
(O.B.d.A. sei hier $\begin{eqnarray*} n \geq m \end{eqnarray*}$ .)

Zitat:

Original von lgrizu
Liegt jedes beliebige Vielfache eines solchen Polynoms in M?

Ja, weil $\begin{eqnarray*} r \cdot p(x) = r \cdot \left( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x \right) = ra_nx^n+ra_{n-1}x^{n-1}+...+ra_1x \in M \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} r \cdot a_i \in K \end{eqnarray*}$

Passt der Beweis von 1) dann soweit schon, oder?

Zitat:

Original von lgrizu
Zu 2)
Hier muss man sich überlegen, ob es ein Ideal $\begin{eqnarray*} J \in K[x] \end{eqnarray*}$ gibt für das gilt: $\begin{eqnarray*} I \subset J \subset K[x] \end{eqnarray*}$

?? Wie mache ich das ??
$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist in dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , oder?

Zitat:

Original von lgrizu
Zu 3)
Hier hilft weiter, dass jedes Ideal eines Polynomrings über einem Körper ein Hauptideal ist

Ok, dann ist damit auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal. Aber was ist der Erzeuger?

Edit von lgrizu: Zeilenumbruch eingefügt damit das übersichtlicher wird

18.01.2011, 13:41

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Warum hast du bei 1) Polynome benutzt, die einen unterschiedlichen Grad haben?

Was ist, wenn der Grad gleich ist?

Benutze doch die beiden Polynome $\begin{eqnarray*} p(x)=a_nx^n+....+a_1x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x)=b_nx^n+...+b_1x \end{eqnarray*}$ und bilde die Differenz, die Koeffizienten dürfen auch 0 werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von eddidde

Passt der Beweis von 1) dann soweit schon, oder?

Dann sollte es passen.

Zitat:

Original von eddidde

Zitat:

Original von lgrizu
Zu 2)
Hier muss man sich überlegen, ob es ein Ideal $\begin{eqnarray*} J \in K[x] \end{eqnarray*}$ gibt für das gilt: $\begin{eqnarray*} I \subset J \subset K[x] \end{eqnarray*}$

?? Wie mache ich das ??
$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist in dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, I ist die Menge M.

Überlege dir, ob M eine Teilmenge eines Ideals ist, mehr ist nicht gefordert.

Zitat:

Original von eddidde

Zitat:

Original von lgrizu
Zu 3)
Hier hilft weiter, dass jedes Ideal eines Polynomrings über einem Körper ein Hauptideal ist

Ok, dann ist damit auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal. Aber was ist der Erzeuger?

Mach dir da mal Gedanken drüber, ein Erzeuger ist ein Element z aus dem Ideal I für das gilt: $\begin{eqnarray*} I=\left\{a \cdot z | a\in K[x] \right\} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 13:57

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Das mit dem Polynomgrad in 1) ist klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von lgrizu
Überlege dir, ob M eine Teilmenge eines Ideals ist, mehr ist nicht gefordert.

Aber M ist doch das Ideal selber?!?

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von eddidde

Zitat:

Original von lgrizu
Zu 3)
Hier hilft weiter, dass jedes Ideal eines Polynomrings über einem Körper ein Hauptideal ist

Ok, dann ist damit auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Hauptideal. Aber was ist der Erzeuger?

Mach dir da mal Gedanken drüber, ein Erzeuger ist ein Element z aus dem Ideal I für das gilt: $\begin{eqnarray*} I=\left\{a \cdot z | a\in K[x] \right\} \end{eqnarray*}$

Wenn z im Ideal M liegen muss, dann hat z die Form $\begin{eqnarray*} z=a_nx^n+....+a_1x \end{eqnarray*}$ .
Sómit müsste doch z.B. z = (x) ein Erzeuger sein, da a * x für alle a wieder in M liegt. Richtig?

18.01.2011, 14:07

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal

Zitat:

Original von eddidde
Aber M ist doch das Ideal selber?!?

Ja, M ist ein Ideal, nun ist zu schauen, ob dieses Ideal Teilmenge eines anderen Ideals ist.

Zitat:

Original von eddidde
Wenn z im Ideal M liegen muss, dann hat z die Form $\begin{eqnarray*} z=a_nx^n+....+a_1x \end{eqnarray*}$ .
Sómit müsste doch z.B. z = (x) ein Erzeuger sein, da a * x für alle a wieder in M liegt. Richtig?

Freude

, ist richtig.

Anzeige

18.01.2011, 14:19

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal

Zitat:

Original von lgrizu
Ja, M ist ein Ideal, nun ist zu schauen, ob dieses Ideal Teilmenge eines anderen Ideals ist.

Also z.z.: Es gibt ein Ideal J mit $\begin{eqnarray*} M \subset J \subset K[x] \end{eqnarray*}$ (oder eben es gibt kein solches Ideal J).

Wenn es eins gibt, würde es reichen, dieses zu finden und anzugeben.
Meine Vermutung geht aber eher in die Richtung, dass es kein solches Ideal J gibt?!

18.01.2011, 14:26

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Ja, wenn es eines gibt dann würde es reichen, es anzugeben, damit wäre gezeigt, dass M kein maximales Ideal ist.

Deine Vermutung täuscht dich da aber nicht, es ist tatsächlich maximal.

Welches wäre denn die einzige Menge, die M enthält und echt "größer" ist als M ?

18.01.2011, 14:29

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal

Zitat:

Original von lgrizu
Welches wäre denn die einzige Menge, die M enthält und echt "größer" ist als M?

K selbst?!

18.01.2011, 14:31

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
M ist doch keine Teilmenge von K......

18.01.2011, 14:54

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
??? Aber es ist doch z.z.: $\begin{eqnarray*} M \subset J \subset K[x] \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 15:00

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Das wiederum stimmt, M ist Teilmenge von K[x], nicht jedoch von K, also welches ist die einzige Menge, die echt größer ist als M und Teilmenge von K[x] ist?

18.01.2011, 15:15

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
dann K[x] ?!

Aber warum ist das die einzige Menge, die echt größer ist als M und Teilmenge von K[x]?

18.01.2011, 15:30

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Welche Mengen würden dir denn sonst noch einfallen, die M vollständig enthalten?

18.01.2011, 15:38

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Nur M selbst und die Menge, die aufgebaut ist wie M, in der aber $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist und das ist wiederum K[x], richtig?!

18.01.2011, 16:08

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper, Ideal
Nein, das siehst du falsch, M ist nicht in der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{p(x)=a_nx^n+...+a_0:a_0 \in K \setminus \left\{0 \right\} \right\} \subset K[x] \end{eqnarray*}$ enthalten, wohl aber in der Menge K[x].

Wenn du also ein $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ wählst, so ist M keine Teilmenge der Menge.

Also bleibt als mögliche Obermenge nur noch K[x] übrig und damit ist M ein maximales Ideal.

18.01.2011, 17:52

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, im Prinzip habe ich das verstanden, vielen Dank schonmal!!! Aber wie könnte ich denn die Begründung dafür formulieren, dass M nur in sich selbst und in K[x] enthalten ist?

18.01.2011, 18:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch im Prinzip nur aufschreiben, dass es kein Ideal gibt I gibt mit $\begin{eqnarray*} M \subset I \end{eqnarray*}$ .

Die einzige Möglichkeit, solch ein Ideal zu konstruieren wäre die Menge K[x], denn die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{p(x)=a_nx^n+...+a_0:a_0 \in K \setminus \left\{0 \right\} \right\} \subset K[x] \end{eqnarray*}$ enthält weder das Nullpolynom, ist also kein Ideal, noch enthält sie M vollständig.

18.01.2011, 18:14

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
Die einzige Möglichkeit, solch ein Ideal zu konstruieren wäre die Menge K[x], denn die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{p(x)=a_nx^n+...+a_0:a_0 \in K \setminus \left\{0 \right\} \right\} \subset K[x] \end{eqnarray*}$ enthält weder das Nullpolynom, ist also kein Ideal, noch enthält sie M vollständig.

Wieso $\begin{eqnarray*} a_0 \in K \setminus \left\{0 \right\} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a_0 \in K \end{eqnarray*}$ ?

18.01.2011, 18:26

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage verstehe ich nicht, mit $\begin{eqnarray*} a_0 \in K \end{eqnarray*}$ haben wir doch K[x] und das ist ein Ideal.

Wir nehmen die Menge M und versuchen, ein Ideal zu "konstruieren", dass M vollständig enthält.

Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{p(x)+1|p(0)=0\right\} \end{eqnarray*}$ zum Beispiel enthält nun genau so viele Elemente, wie die Menge M, ist aber kein Ideal und enthält die Menge M nicht, kommt also nicht in Frage.
Wenn wir $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ fest wählen erhalten wir eine Menge mit gleicher Mächtigkeit wie M, also kommen alle diese Mengen nicht in Frage, die ein festes $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ enthalten, zum einen, weil sie keine Ideale sind und zum anderen, weil sie M nicht enthalten.

Die Menge $\begin{eqnarray*} A= \left\{p(x)=a_nx^n+...+a_0:a_0 \in K \setminus \left\{0 \right\} \right\} = \left\{p(x)+a_0|p(0)=0,a_0 \neq 0 \textbf{beliebig} \right\}\subset K[x] \end{eqnarray*}$ ist größer als die Menge M, enthält aber M nicht und ist kein Ideal, kommt also auch nicht in Frage.

K[x] enthält nun ein Element mehr als die Menge A, ist ein Ideal (trivialerweise), ist aber bereits der Ring selbst, also ist M ein maximales Ideal.

18.01.2011, 18:35

eddidde

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich das richtig gut verstanden! Super Erklärung!
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Hilfe!!! Blumen

Blumen

18.01.2011, 18:39

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Okeydokey, wenn du noch Fragen hast, du weißt, wo du uns findest Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »