Metrik, Axiome Prüfen |
| 18.01.2011, 12:40 | mathematicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Metrik, Axiome Prüfen Hallo, ich habe mit folgende Fragestellung zu bewältigen: Gibt es eine Menge M und eine auf MxM definierte Funktion d, die die Eigenschaften (2, 3, 4) hat aber keine Metrik ist? Die eigenschaften lauten: (1) d(x,y) >= 0 (2) d(x,y) = 0 (3) d(x,y) = d(y,x) (4) d(x,y) <= d(x,y)+ d (z,y) Meine Ideen: Da wir (1) nicht nachweisen müssen... reicht es wenn ich eine Menge M finde/oder auch nicht die negativ ist? |
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| 18.01.2011, 12:49 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wegen (2) ist d automatisch die Nullrelation und somit keine Metrik. Sollte es evt. d(x,x)=0 heissen? |
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| 18.01.2011, 12:58 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(2) lautet korrekt (2) d(x,y)= 0 <=> x=y also ja, gerne (d (x,x) oder d(y,y) ) |
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| 18.01.2011, 13:03 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das stellt, nach meinem Verständnis, nur Sicher, das Punkte mit Abstand 0 identisch zueinander sind (Punkte die nicht identisch sind, können auc unmöglich den Abstand Null haben)... oder habe ich hier etwas falsch verstanden? |
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| 18.01.2011, 13:04 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d(x,x)=0 bedeutet, dass jeder Punkt zu sich selbst den Abstand Null hat. d(x,y)=0 <=> x=y bedeutet, dass verschiedene Punkte auch zwangsläufig einen Abstand ungleich Null haben müssen. Ist also mehr als nur d(x,x)=0 |
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| 18.01.2011, 13:09 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d(x,y)=0 <=> x=y ist das korrekte Axiom für (2) Genügt es wenn ich also elemente x,y,z von M finde(oder auch nicht) die (1) nicht erfüllen, aber identisch sind wenn sie den Abstand 0 haben, symmetrisch sind unf für die die Dreiecksungleichung gilt? Wenn ja... wie beginne ich einen solchen Beweis? 
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| 18.01.2011, 13:10 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommen wir aber mal zu dem, was Du zeigen sollst: Aus (2) und (4) folgt im Reellen (1). Wenn Du den Beweis hinbekommmst, siehst Du evt. schon, was bei allgemeinen Mengen M zum Problem werden könnte. |
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| 18.01.2011, 13:19 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn aus (2) und (4) bereits (1) folgt... dann wird es eine solche Menge im reelen wohl nicht geben... Was ist aber wenn ich das reelle verlasse? Oder weicht es von der Aufgabenstellung ab? Darf ich das überhaupt? Immerhin ist doch jede Abbildund d( , ) von MxM in R eine Metrik falls 1-4 gilt. Vor allem... "die diese Eigenschaften erfüllen, aber keine Metrik ist". Es wäre nur dann keine Metrik wenn, Eigenschaft 1 umgekehrt wäre, wenn sie aber aus (2) und (4) folgt kann sie niemals keine Metrik sein...
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| 18.01.2011, 13:31 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht aber nirgends, dass oder hast Du das unterschlagen? |
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| 18.01.2011, 13:38 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Aufgabenstellung steht es wirklich nicht. Aber wenn 2-3 gelten sollen... als Definition ist gegeben: Sei M eine nichtleere Menge. Dann heißt jede Abbildung d ( , ) von MxM in R eine "Metrik" falls gilt 1-4 Eine Menge M mit einer Metrik d heißt ein "metrischer Raum" |
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| 18.01.2011, 13:43 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also kann M irgendeine Menge sein. Wichtig ist nur, dass die Abbildung d nach R führt. Hast Du Dich inzwischen an dem Beweis versucht? |
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| 18.01.2011, 14:00 | mathmaticious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja... aber ich bin mir nicht sehr sicher also ich habe folgendes gemacht (nach // stehen meine Gedankengänge. Bitte unbedingt verbessern, falls ich etwas falsch verstanden/gemacht habe) : 2d(x, y) = d (x,y)+ d(x,y) // (2* d( , ) weil ich gerne 2 Termen hätte, ist das ok?) d(x,y)+ d(x,y)= d(x, y)+ d(y,x) // aus symmetrie gründen (3) ist das möglich d(x, y)+ d(y,x) >= d(x,x) //der abstand 2er Punkte muss >= 0 sein... folgt: d (x,y) >= 0 // also muss (1) gelten ??? Also ich versuche zu zeigen, dass wenn ich 2-4 befolgen muss, automatisch auch (1) folgt und somit 1 auf jeden fall gelten muss... Ist der Ansatz ok? |
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| 18.01.2011, 15:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du begründest deine vorletzte Zeile mit dem, was Du zeigen sollst. Nämlich, dass der Abstand zweier verschiedener Punkte stets größer als Null ist. Der Beweis klappt so also nicht. Mit Deiner Überlegung bist Du aber auf dem richtigen Weg. Denk mal an einen Beweis, der nur die Axiome (2) und (4) verwendet. Was Du auch noch besser machen kannst: Schreib deine Schritte in einer (Un) gleichung, nicht in einzelnen Umformungsschritten. Das hat immer einen Hauch von "ich versuch mal irgendwas und hoffe, dass ich irgendwann eine wahre Aussage erhalte" und ist außerdem eine Menge mehr Schreibarbeit 
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| 18.01.2011, 17:19 | mathematicious | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm.. wie wäre es damit: d(x,y) <= d(x,z) +d (z,y) // aus (4), mit Hilfe von (2) folgt d(x,x) <= d(x,z)+ d(z,x) = 0 <= d(x,z)+ d(z,y) und daraus folgt, dass d(x,y) >=0 ist Was hälts du davon? |
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