-1 = 1

19.01.2011, 15:53

Barium

-1 = 1

Hey!

Leider reagiert die Boardsuche nicht auf meine Eingaben bzgl. dieses Problems - der Titel scheint zu kryptisch zu sein.

Das Problem ist ein Klassiker und ich müsste in diesem Forum binnen der nächsten Minuten mit lösenden Antworten bombardiert werden... Augenzwinkern

Es geht um den "Beweis" von -1 = 1:

$\begin{eqnarray*} -1 = i^2 = ii = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist natürlich das vierte Gleichheitszeichen. Jetzt gilt doch aber für beliebige $\begin{eqnarray*} w,z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} Log(z) \end{eqnarray*}$ sei der Hauptzweig des komplexen Logarithmus):

$\begin{eqnarray*} \sqrt{w}\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2} Log(w)} e^{\frac{1}{2} Log(z)} = e^{\frac{1}{2} Log(w) + \frac{1}{2} Log(z)} = e^{\frac{1}{2} Log(wz)} = \sqrt{wz}, \end{eqnarray*}$

also alles ganz wie im Rellen.

Wo ist der Fehler? smile

19.01.2011, 16:14

René Gruber

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Die Summenregel

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Log}(w) + \operatorname{Log}(z) = \operatorname{Log}(wz) \end{eqnarray*}$

gilt nicht für alle Paare $\begin{eqnarray*} (w,z) \end{eqnarray*}$ komplexer Zahlen:

Ich nehme an, du meinst mit Haupzweig jenen, für den $\begin{eqnarray*} -\pi < \operatorname{Im}(\operatorname{Log}(z)) \leq \pi \end{eqnarray*}$ gilt oder? Dann betrachte mal das Beispiel $\begin{eqnarray*} w=z=-1+i \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Oder natürlich schlicht dein $\begin{eqnarray*} w=z=-1 \end{eqnarray*}$ - wie dumm von mir, nicht gleich dieses zu nennen. Augenzwinkern

19.01.2011, 20:28

Barium

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Danke für deine Antwort!

Ja, ich meinte diesen Hauptzweig.

Anfangs hatte ich mir mal überlegt, dass die Log.-Gesetze sich nicht ins Komplexe übetragen lassen, aber wenn ichs langsam ausschreibe, seh ich keinen Fehler:

$\begin{eqnarray*} Log(w)+Log(z) = log(|w|)+log(|z|)+i arg(w)+i arg(z) \end{eqnarray*}$

Nun ist doch aber $\begin{eqnarray*} arg(w)+arg(z) = arg(wz) \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

Wenn ja, wäre die Regel ja für alle komplexen Zahlen gültig! Was überseh ich?

(Ja, ich sehe die Gegenbeispiele ein, aber nicht meinen Fehler! Augenzwinkern

)

19.01.2011, 21:07

René Gruber

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Zitat:

Original von Barium
Nun ist doch aber $\begin{eqnarray*} arg(w)+arg(z) = arg(wz) \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

Tja, wenn du dir nicht die konkreten Beispiele anschaust, dann wirst du wohl auch weiter an diese falsche Aussage glauben - zumindest in dieser Allgemeinheit falsch.

20.01.2011, 20:30

Barium

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Ich hab mir die Gegenbeispiele angesehen! Augenzwinkern

Kann es sein, dass ich nicht richtig verstehe, was mit "arg" gemeint ist?

Was ist falsch in folgender Rechnung?

$\begin{eqnarray*} w := r_1 e^{i\varphi_1}, z := r_2 e^{i\varphi_2}, arg(w) = \varphi_1, arg(z) = \varphi_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} wz = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, arg(wz) = \varphi_1 + \varphi_2 = arg(w) + arg(z). \end{eqnarray*}$

Für mein Beispiel:

Es ist
$\begin{eqnarray*} arg(i) = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} arg(i^2) = arg(-1) = \pi = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = arg(i) + arg(i) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem - merk ich grad - versteh ich nicht, warum man $\begin{eqnarray*} Log(-1) \end{eqnarray*}$ berechnen kann, obwohl $\begin{eqnarray*} Log \end{eqnarray*}$ nur definiert ist für komplexe Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \backslash (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ .

Danke für nichtherablassende Antworten. smile

20.01.2011, 23:55

system-agent

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Zitat:

Original von Barium
Außerdem - merk ich grad - versteh ich nicht, warum man $\begin{eqnarray*} Log(-1) \end{eqnarray*}$ berechnen kann, obwohl $\begin{eqnarray*} Log \end{eqnarray*}$ nur definiert ist für komplexe Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \backslash (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ .

Du musst hier ein bischen mehr unterscheiden.
Prinzipiell ist es möglich für jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z\neq0 \end{eqnarray*}$ einen Logarithmus anzugeben. Es ist sogar möglich für jedes solche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ [abzählbar] unendlich viele Logarithmen anzugeben. Wieso?
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} w\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ heisst ein Logarithmus von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \exp(w)=z \end{eqnarray*}$ gilt.
Aber wegen $\begin{eqnarray*} \exp(2k\pi i)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ bekommt man zu jedem Logarithmus $\begin{eqnarray*} w_0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} w_k:=w_0+2k\pi i \end{eqnarray*}$ unendlich viele Logarithmen.

Nun können wir also jeder komplexen Zahl ungleich Null einen Logarithmus zuordnen, doch welchen sollen wir nehmen? Jeder ist gleich gut. Sicher ist es mal natürlich, dass wir fordern, dass jede reelle Zahl ihren bereits bekannten Logarithmus zugeordnet kriegt. OK, dann haben wir für alle reellen Zahlen die gesuchte Logarithmusfunktion eindeutig festgelegt. Macht man nun weiter, dann stellt man fest, dass man diese Funktion nur dann stetig bekommt [und auch holomorph, was eine sehr gute Forderung ist], falls man eine von Null ausgehende Halbgerade aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ entfernt. Welche man entfernt ist völlig egal.
Natürlich will niemand die positive reelle Halbgerade entfernen. Also nimmt man eben die negative reelle Zalbgerade.
Das liefert schlussendlich dann den Hauptzweig des komplexen Logarithmus.

Das heisst im Klartext: Auch von -1 kannst du einen [sogar ganz viele] Logarithmus berechnen. Nur damit du eine wirklich anständige Funktion kriegst musst du Kompromisse eingehen und wenn man sich an den Standard hält, dann bedeutet das, den Hauptzweig des Logarithmus zu nutzen.
Dieser ist definiert für $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\,\,:\,\,x\leq0\} \end{eqnarray*}$ und sein Wert $\begin{eqnarray*} \operatorname{Log}(z) \end{eqnarray*}$ ist durch die Forderung $\begin{eqnarray*} \operatorname{Log}(z)\in\{w\in\mathbb C\,\,:\,\,-\pi<\text{Im}(w)\leq\pi\} \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt [was gerade bedeutet dass man eine Funktion hat].

21.01.2011, 00:11

René Gruber

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Zitat:

Original von Barium
Danke für nichtherablassende Antworten.

Herablassend ist, dass du dich nicht dazu herablässt, die konkreten Beispiele durchzurechnen, die ich dir genannt habe. Also mach ich es für dich, der du zu faul dazu bist:

(1) $\begin{eqnarray*} w=z=-1 \end{eqnarray*}$ :

Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(-1) = \pi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}((-1)^2) = \operatorname{arg}(1) = 0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(w) + \operatorname{arg}(z) = 2\pi \neq 0 = \operatorname{arg}(wz) \end{eqnarray*}$

Und wenn du dich herausreden willst "naja, die negative reelle Achse müssen wir herausnehmen", dann eben das zweite Beispiel:

(2) $\begin{eqnarray*} w=z=-1+i \end{eqnarray*}$ :

Es ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(-1+i) = \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}((-1+i)^2) = \operatorname{arg}(-2i) = -\frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(w) + \operatorname{arg}(z) = \frac{3}{2}\pi \neq -\frac{1}{2}\pi = \operatorname{arg}(wz) \end{eqnarray*}$ .

-----------------------------------

Was gültig ist: Für $\begin{eqnarray*} w,z\in \mathbb{C}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} k\in\{-1,0,1\} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(w) + \operatorname{arg}(z) = \operatorname{arg}(wz) + 2\pi k \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Log}(w) + \operatorname{Log}(z) = \operatorname{Log}(wz) + 2\pi ki \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man nun daraufhin dein obiges

$\begin{eqnarray*} \exp\left( \alpha \left( \operatorname{Log}(w) + \operatorname{Log}(z) \right) \right) \stackrel{?}{=} \exp\left( \alpha \operatorname{Log}(wz) \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

so ist das für ganzzahliges (!) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durchaus richtig, für alle anderen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aber i.a. falsch, d.h., auch für $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ lassen sich stets Beispiele $\begin{eqnarray*} w,z \end{eqnarray*}$ finden, so dass (*) falsch ist - eben etwa jenes Beispiel, welches dich zur Eröffnung dieses Threads gebracht hat.

24.01.2011, 10:49

Barium

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Vielen Dank für die Erklärung, system_agent! Der letzte Absatz hat Erleuchtung gebracht. Freude

René, ich hatte das zweite Beispiel durchgerechnet - dennoch danke für deine ausführliche Arbeit. Da mein Argument von $\begin{eqnarray*} -2i \end{eqnarray*}$ aber anders ist als deins, hab ich andere Resultate.

Warum ist für dich $\begin{eqnarray*} arg(-2i) = -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ? Für mich ist es $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$ und damit wäre die Aussage fürs zweite Beispiel korrekt. Hat jemand definiert, dass Argumente betragsmäßig kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein müssen?

24.01.2011, 11:03

René Gruber

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Du widersprichst dich selbst: Auf meine Frage

Zitat:

Original von René Gruber
Ich nehme an, du meinst mit Haupzweig jenen, für den $\begin{eqnarray*} -\pi < \operatorname{Im}(\operatorname{Log}(z)) \leq \pi \end{eqnarray*}$ gilt oder?

hast du mit

Zitat:

Original von Barium
Ja, ich meinte diesen Hauptzweig.

geantwortet. Nun liegt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$ aber nicht im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Du kannst gern statt $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ oder sonst irgendeinen anderen Vollkreis nehmen, was das bestehende Problem aber nicht lösen kann - nur die Gegenbeispiele sehen dann ggfs. etwas anders aus!

Noch ein Wort zu deiner "Dankbarkeit zweiter Klasse":

Zitat:

Original von Barium
dennoch danke für deine ausführliche Arbeit.

Auf sowas kann ich gern verzichten - ich bin's gewohnt, dass mich die Leute nicht mögen, wenn ich ihnen unangenehme Wahrheiten direkt ins Gesicht sage.

24.01.2011, 21:48

Barium

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Zitat:

Original von René Gruber
Nun liegt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$ aber nicht im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Tatsächlich, da ist der Widerspruch, jetzt hab ichs! Tanzen

Zitat:

Original von René Gruber
Noch ein Wort zu deiner "Dankbarkeit zweiter Klasse":

Zitat:

Original von Barium
dennoch danke für deine ausführliche Arbeit.

Auf sowas kann ich gern verzichten - ich bin's gewohnt, dass mich die Leute nicht mögen, wenn ich ihnen unangenehme Wahrheiten direkt ins Gesicht sage.

Dann verzichte drauf. smile

Wieso hilfst du mir, wenn du meinen Dank nicht willst? Was kann ich dir hier sonst bieten?

24.01.2011, 22:05

René Gruber

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Lass es gut sein. Ebenso wie du bei der mathematischen Argumentation lange gebraucht hast, verstehst du auch hier nicht, was ich meine - aber hier ist es auch unwichtig. Wink

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-1 = 1

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