Basis und darstellende Matrix finden

20.01.2011, 11:47

thomann

Basis und darstellende Matrix finden

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \varphi: V \to V \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} \varphi = \varphi^2 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Gestalt $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat, mit $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ = die r-dimensionale Einheitsmatrix.

Um zu zeigen, dass es so eine Basis gibt, muss ich so eine Basis B anführen. Bzw. die Frage die gestellt wird ist doch eigentlich, wie die Basis B gewählt werden muss, so dass die darstellende Matrix A entspricht.

Bis jetzt kenne ich nur, dass man eine Basis gegeben hat und dann die Darstellungsmatrix berechnen muss. Aber hier ist es ja genau umgekehrt...wie setzt man am besten an?

20.01.2011, 15:28

hnky

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hallo,

dies ist nur eine idee,wie diese aufgabe funktionieren könnte:

eine abbildung, die $\begin{eqnarray*} \phi^2=\phi \end{eqnarray*}$ erfüllt, nennt man projektion.

du könntest nun eine beliebige basis von V nehmen, und die eigenwerte der matrix bezüglich dieser basis berechnen(diese sind besonders einfach). danach könntest du die eigenvektoren zu diesen eigenwerten bestimmen, und danach einen basiswechsel betrachten.

allerdings: alle angaben ohne gewähr, ich wäre auch an einer lösung für diese (relativ interessante) aufgabe interessiert smile

24.01.2011, 13:59

thomann

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Ich habe bis jetzt folgenden Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} dimV = n \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} ker(\varphi)=W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} im(\varphi)=U \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} rang(\varphi)=r \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} dim(ker(\varphi))=n-r \end{eqnarray*}$ .

Sei dann $\begin{eqnarray*} \{w_1,...,w_{n-r}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ .
Dann sollte sich diese Basis zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ erweitern lassen. Also $\begin{eqnarray*} \{v_1,...v_r,w_1,...,w_{n-r}\} \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es noch eine Basis von $\begin{eqnarray*} im(\varphi): \{u_1,...,u_r\} \end{eqnarray*}$ .
Dann müsste gelten: $\begin{eqnarray*} u_1=\varphi(v_1), ..., u_r=\varphi(v_r) \end{eqnarray*}$ .
Das kann man dann wieder zu einer Basis von V erweitern:
$\begin{eqnarray*} \{u_1,...u_r,u_{r+1},...,u_n\} \end{eqnarray*}$ .

Anhand dieser Basen sollte man dann eigentlich die Gestalt der darstellenden Matrix ablesen können.

Also die erste und zweite Zeile wäre z.B.:

$\begin{eqnarray*} F(v_1)=u_1=1u_1+0u_2+...+0u_r,+0u_{r+1}+...+0u_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(v_2)=u_2=0u_1+1u_2+...+0u_r,+0u_{r+1}+...+0u_n \end{eqnarray*}$

usw.

Bin mir aber nicht sicher, ob man das so machen kann, bzw. ob der Beweis richtig ist. An einigen Stellen bin ich mir sowieso unsicher, ob das stimmt, was ich gemacht habe...wenn ich "sollte" oder "müsste" schreibe. Augenzwinkern

Vor allem irritiert mich, dass ich bei diesem Beweis die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \varphi = \varphi^2 \end{eqnarray*}$ gar nicht verwendet habe...zumindest nicht bewusst. Also ist ziemlich sicher ein Fehler enthalten.

Wäre nett, wenn mal jemand drüberschauen könnte. Augenzwinkern

24.01.2011, 19:18

thomann

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Ah, aus $\begin{eqnarray*} \varphi = \varphi^2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} V = ker(\varphi) \oplus im(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Habe ich das bei einem Schritt vielleicht ohne es zu wissen vorausgesetzt?

Also hier:

Zitat:

Das kann man dann wieder zu einer Basis von V erweitern:
$\begin{eqnarray*} \{u_1,...u_r,u_{r+1},...,u_n\} \end{eqnarray*}$ .

Sorry für den Monolog. Augenzwinkern

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