Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren

20.01.2011, 14:22

G0rd0nGeKK0

Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren

Hallo Leute, mich beschäftigt folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \varphi_{A} : \mathbb R ^{3} \rightarrow \mathbb R ^{3} , x\mapsto A\cdot x \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -4 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume von $\begin{eqnarray*} \varphi_{A} \end{eqnarray*}$ .

Die Eigenwerte habe ich bestimmt.
Sie lauten
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = -1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun testen ob diese Eigenwerte stimmen, und wie genau bestimmt man die Eigenräume?

Definition Eigenräume:

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda} := kern(f-\lambda\cdot E_{n} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{\lambda} = \{v \in V | f(v) = \lambda\cdot v\} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -4 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -4 & -3 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

FÜR $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

Mit Gauß zu lösen also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -4 & -3 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Am Ende komm ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich bin ja fertig, aber wie bestimme ich jetzt den Eigenraum für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ . Ich hab das mit diesen "freiwählbaren Variablen" nicht so richtig verstanden. Kann mir einer pls erläutern, wie der letzte Schritt aussieht?

THX for Help.

20.01.2011, 14:28

tigerbine

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
[Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren

20.01.2011, 14:35

G0rd0nGeKK0

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Bei meinem Beispiel ist also x3 "frei" wählbar. Also könnte ich auch mit x3 = 1000 rechnen? verwirrt

Sorry Bine , ich versteh das Beispiel da nicht Hammer

Ich habe ja diesen Eigenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1}- x_{3} \\ x_{2}+2x_{3} \\ x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{3} = 1 \end{eqnarray*}$ wähle, komme ich auf den Eigenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Kann das stimmen??? Wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{3} = 2 \end{eqnarray*}$ wähle, komme ich auf den Eigenvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Was ist hier der Unterschied?? Big Laugh

Naja blöde Frage ich weiß, die sehen sich schon ziemlich ähnlich aus, welches ist nun das richtige Ergebnis??

20.01.2011, 15:25

klarsoweit

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Was ist hier der Unterschied??

Der eine ist das doppelte vom anderen. smile

Es gibt ja nicht den Eigenvektor, sondern allenfalls eine Basis des Eigenraums.

20.01.2011, 15:28

G0rd0nGeKK0

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Das heißt ich muss für ALLE Eigenwerte passende Eigenvektoren finden um dann den Eigenraum bilden zu können richtig? Also ist es auch egal, mit welchen Eigenvektoren ich das mache.

In diesem Fall müsste ich also 3 Eigenvektoren bestimmen.

20.01.2011, 15:40

klarsoweit

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Ja, du mußt zu jedem Eigenwert einen Eigenraum bzw. eine passende Basis bestimmen.

Was du mit dem Satz "Also ist es auch egal, mit welchen Eigenvektoren ich das mache" aussagen willst, weiß ich nicht.

20.01.2011, 16:29

G0rd0nGeKK0

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Wie kann man überprüfen ob Eigenwerte und Eigenvektoren stimmen?

Ich hab folgende Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_{3} = -1 \end{eqnarray*}$

und den Eigenraum:

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda} = \bigg\{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \bigg\} \end{eqnarray*}$

20.01.2011, 16:59

Evelyn89

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Sie müssen doch gerade die Bedingung $\begin{eqnarray*} Av_i=\lambda_iv_i \end{eqnarray*}$ für alle i=1,2,3 erfüllen.
Einfach einsetzen und prüfen, ob die Gleichheit erfüllt wird. smile

P.S.: Es ist ein wenig ungeschickt verschiedenen Eigenwerten den selben Namen zu geben. Siehe dein Beitrag oben ;-)

20.01.2011, 17:06

G0rd0nGeKK0

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
oh gar nicht gesehen^^ thx:P ja ich weiß inzwischen wie s funktioniert..Man multipliziert A mit einem Eigenvektor und erhält das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fache des Eigenvektors als Ergebnis^^ Gott

20.01.2011, 17:16

G0rd0nGeKK0

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RE: Eigenwerte, Eigenräume, Eigenvektoren
Mist beim zweiten Eigenvektor hab ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$ gerechnet.

Komischerweise ist es trotzdem richtig Big Laugh

Achso bestimmt liegts daran, weil es egal ist in welchen Richtung ich gehe^^

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