charakteristisches Polynom

20.01.2011, 14:32

evilbiddy

charakteristisches Polynom

Meine Frage:
Kann mir einer sagen, wie ich diese Determinante relativ einfach berechnen kann?

$\begin{eqnarray*} det (A - \lambda E_{4}) = \begin{pmatrix} 12-\lambda & -11 & 6 & 6 \\ 15 & -10-\lambda & 2 & 7 \\ 4 & -1 & -1-\lambda & 1 \\ 5 & -1 & -4 & 3-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hab die Determinante nach der 2.Spalte berechnet und fast ne Seite dran rum gerechnet.
Wies zu erwarten war, hab ich mich immer wieder verrechnet und es bis jetzt noch net geschafft aufs richtige Ergebnis zu kommen unglücklich

:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 4\lambda^{3} + 5\lambda^{2} - 4\lambda +4 \end{eqnarray*}$

mein Ergebnis sieht allerdings leider so aus:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 4\lambda^{3} - 2\lambda^{2} + 3\lambda +4 \end{eqnarray*}$

20.01.2011, 15:33

hnky

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du könntest versuchen, einige nullen in den eintragen zu erzeugen, indem du umformungen benutzt, die die determinante nicht ändern (siehe hier)

ob das allerdings dann einfacher wird, als einfach "drauf loszurechnen", wage ich zu bezweifeln.

20.01.2011, 17:52

evilbiddy

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hm, habs umgeformt ... aber das hat noch schlechter funktioniert ... unglücklich

trotzdem danke für den vorschlag Augenzwinkern

21.01.2011, 11:57

klarsoweit

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RE: charakteristisches Polynom

Zitat:

Original von evilbiddy
mein Ergebnis sieht allerdings leider so aus:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 4\lambda^{3} - 2\lambda^{2} + 3\lambda +4 \end{eqnarray*}$

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \lambda^{4} - 4 \lambda^{3} + 5 \lambda^{2} - 4\lambda + 4 \end{eqnarray*}$ .
Und das hat auch eine schöne glatte Nullstelle. Augenzwinkern

21.01.2011, 12:33

evilbiddy

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RE: charakteristisches Polynom
ja, das is ja auch die Lösung :P
Die Frage ist jetzt, wie hast dus gerechnet ... Augenzwinkern

Wenn ich mich net verrechnen würde, käm das bei mir auch raus, nur ich will ja wissen, obs nen Weg gibt, bei dem man sich net so schnell verrechnet ^^

21.01.2011, 13:17

klarsoweit

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RE: charakteristisches Polynom
Am besten erstmal ein paar Zeilenumformungen machen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 12-\lambda & -11 & 6 & 6 \\ 15 & -10-\lambda & 2 & 7 \\ 4 & -1 & -1-\lambda & 1 \\ 5 & -1 & -4 & 3-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -12 - \lambda & -5 & 12 + 6 \lambda & 0 \\ -13 & -3 - \lambda & 9 + 7 \lambda & 0 \\ 4 & -1 & -1 - \lambda & 1 \\ 5 & -1 & -4 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{vmatrix} -12 - \lambda & -5 & 12 + 6 \lambda & 0 \\ -13 & -3 - \lambda & 9 + 7 \lambda & 0 \\ 4 & -1 & -1 - \lambda & 1 \\ 4 \lambda - 7 & -\lambda + 2 & - \lambda^2 + 2 \lambda - 1 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} -12 - \lambda & -5 & 12 + 6 \lambda \\ -13 & -3 - \lambda & 9 + 7 \lambda \\ 4 \lambda - 7 & -\lambda + 2 & - \lambda^2 + 2 \lambda - 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

21.01.2011, 13:55

evilbiddy

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RE: charakteristisches Polynom
o.O das is etz iwier schwer nachzuvollziehen unglücklich

kannst du das vll noch kurz schreiben?!
iwie so:

1.Zeile -(6x3.Z)
u.
s.
w.
...

??

21.01.2011, 14:14

klarsoweit

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RE: charakteristisches Polynom
Ich dachte, das liegt auf der Hand. Nun denn:

1. Zeile - 6 mal 3. Zeile
2. Zeile - 7 mal 3. Zeile
4. Zeile + (lambda - 3) mal 3. Zeile
smile

21.01.2011, 15:32

evilbiddy

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RE: charakteristisches Polynom
k, eigtl recht einfach ... ich hatte es iwie leicht komplizierter umgeformt^^

ich werds etz noch mal so ausprobieren und dann muss ja endlich mal das richtige rauskommen ... danke ! smile

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