Unterraum Polynome

20.01.2011, 15:22

Hannes2011

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Unterraum Polynome

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} P= \left\{\sum\limits_{i=0}^n a_{i}x^{i}:n\in \mathbb N ,a_{i}\in \mathbb R \forall i \in (0,...n) \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Pn=\bigcup P` m \cup \left\{ 0\right\} ,m\leq n \end{eqnarray*}$

Hi
ich soll zeigen dass Pn ein Unterraum von P ist.

Meine Ideen:
Mein Ansätze wäre das Unterraumkriterium.
Es muss gelten für a,b aus K und v,w aus U av+bw aus U

Wäre mein ansatz richtig und wenn ja wie zeige ich das genau mit dem Untergruppenkriterium

20.01.2011, 15:26

Cel

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RE: Unterraum Polynome

Zitat:

Original von Hannes2011
$\begin{eqnarray*} Pn=\bigcup P` m \cup \left\{ 0\right\} ,m\leq n \end{eqnarray*}$

Was soll das denn sein? P ist der VR der Polynome bis Grad n, aber was ist dann $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

20.01.2011, 15:32

Hannes2011

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Pn ist die menge der polynome vom grad n

20.01.2011, 16:11

Hannes2011

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hat niemand eine idee?

20.01.2011, 16:48

Cel

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Also $\begin{eqnarray*} P_n = P \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Lade am besten mal die Aufgabe hoch, wenn du mit dem LaTeX noch nicht klar kommst.

20.01.2011, 17:41

Iorek

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$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist wahrscheinlich der Vektorraum aller Polynome und $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ der Raum aller Polynom mit Höchstgrad n. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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20.01.2011, 19:36

Hannes2011

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genau aber wie zeige ich jetzt dass Pn ein Unterraum von P ist?
mit dem Untergruppenkriterium?

20.01.2011, 19:41

Cel

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Ja, genau. Wie würdest du denn vorgehen, wenn du zwei Polynome aus $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ hast? Was ist mit skalaren Vielfachen und der Summe?

20.01.2011, 20:00

Hannes2011

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also für a,b aus K und v,w aus U muss gelten:
av+bw aus U
nur wie zeige ich das genau

20.01.2011, 20:06

Cel

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Einfach hinschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was sind denn a,b? Du schreibst, aus K. Was ist das hier?

Und die Vektoren v und w sind maximal Polynome vom Grade n, können also so dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} v= v_0 + v_1 \cdot x + \dots + v_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w= w_0 + w_1 \cdot x + \dots + w_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Und jetzt musst du mal nehmen und addieren und zeigen, dass das immer noch ein Polynom vom Grade n ist.

20.01.2011, 20:09

Hannes2011

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hm bin mir jetzt nicht sicher welche skalare das sind
m,n vllt?

20.01.2011, 20:09

Cel

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Nein, ich wollte wissen, was K ist.

20.01.2011, 20:11

Hannes2011

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K ist der Körper

20.01.2011, 20:45

Cel

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Noch mal: Um welchen Körper handelt es sich? Und addieren könntest du die zwei Polynome auch schon mal.

21.01.2011, 10:45

Hannes2011

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$\begin{eqnarray*} a v_{0}+a v_{1} x+...+a v_{n}x^{n} +b w_{0}+b w_{1} x +...+ b w_{n} x^{n} \in U \end{eqnarray*}$

um welchen körper es sich handelt weiß ich nicht

21.01.2011, 10:54

Cel

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Allerhöchstwahrscheinlich ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hast du die Polynome addiert, liegt das Ergebnis in $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ ?

Kannst du es als $\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 \cdot x + \dots + c_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ darstellen?

21.01.2011, 11:06

Hannes2011

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ich würde sagen es liegt in Pn der raum aller polynome von höchstgrad n ist

21.01.2011, 11:13

Cel

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Und warum? Stimmt, aber warum?

Zitat:

Original von Cel
Kannst du es als $\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 \cdot x + \dots + c_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ darstellen?

21.01.2011, 19:33

Hannes2011

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warum weiß ich leider nicht
bin noch nicht ganz so vertraut mit vektoren und untervektoren
ich versuche das alles noch zu verstehen

21.01.2011, 19:39

Cel

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Nun ja ...

Zitat:

Original von Hannes2011
$\begin{eqnarray*} a v_{0}+a v_{1} x+...+a v_{n}x^{n} +b w_{0}+b w_{1} x +...+ b w_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

Das ist doch wohl gleich

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a v_0 + b w_0}_{=: c_0} +a v_1 x + b w_1 x + \dots + a v_n x^n + b w_n x^n \end{eqnarray*}$

Jetzt sind alle Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also aus einem Körper, wo wir ausklammern dürfen. Was hindert uns jetzt daran, jeweils die $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ auszuklammern? Nichts. Beim absoluten Glied hab man nichts auszuklammern, weswegen ich das $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ schon mal für dich definiert habe. Wie lauten jetzt die restlichen $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ ?

21.01.2011, 19:58

Hannes2011

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ah achso
die restlichen c i lauten wie du es schon geschrieben hast also
c0+c1 x+...

21.01.2011, 20:02

Cel

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Ich hab gar nichts geschrieben, lediglich $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ habe ich definiert.

Das, was du schreibst, ist inhaltslos. Du hast bereits oben geschrieben, dass man das so schreiben kann. Gib doch mal konkret die $\begin{eqnarray*} c_i, ~i = 1, \dots, n \end{eqnarray*}$ an!

22.01.2011, 11:01

Hannes2011

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$\begin{eqnarray*} a v_{1} x+ bw _{1}x =c_{1} x <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a v_{2} x+ bw_{2} x =c_{2} x \end{eqnarray*}$

usw

somit ist:

$\begin{eqnarray*} a v_{1} + bw _{1} =c_{1} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a v_{2} + bw_{2} =c_{2} \end{eqnarray*}$
usw

richtig?

22.01.2011, 12:35

Cel

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Richtig, oder ganz allgemein gesagt:

$\begin{eqnarray*} c_i = av_i + bw_i \end{eqnarray*}$

Und schon ist die Aufgabe fertig. smile

smile

22.01.2011, 14:01

Hannes2011

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ok ich glaub ich hab die aufgabe verstanden
danke für deine hilfe Freude

Freude

22.01.2011, 14:13

Hannes2011

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habe noch eine zweite aufgabe zu lösen

Für jedes n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei die Menge P`n der Polynome vom Grad n gegeben durch

$\begin{eqnarray*} P`n=\left\{\sum\limits_{i=0}^n a_{i} x^{i} \in P:a_{n} \neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Für welche n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist P`n $\begin{eqnarray*} \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von P ?

Bei dieser Aufgabe benutze ich wieder das Unterraumkriterium und v und w kann ich wieder darstellen als:
v= $\begin{eqnarray*} v_{0}+ v_{1} x+...+v_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$
w= $\begin{eqnarray*} w_{0}+ w_{1} x+...+w_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$
und dies wieder addieren mit a,b aus K. aber wie finde ich heraus für welche n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ P`n ein Unterraum von P ist?

22.01.2011, 20:10

Hannes2011

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hat keiner eine idee?

23.01.2011, 15:26

Cel

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Meistens liegt man mit seinem Gefühl richtig: Was denkst du denn? Wo könnte es schief gehen?

23.01.2011, 16:40

Hannes2011

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vllt nur für 0?

23.01.2011, 16:52

Cel

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Könnte man meinen, genau. Für die anderen Zahlen, zum Beispiel für 1, hast du Geraden. Na ja, wenn man die addiert und streckt, hat man immer noch Geraden. Das gleiche für Polynome. Wenn wir n = 0 untersuchen, um was handelt es sich dann bei dem VR eigentlich? Setzt mal in deine Definition 0 ein und schreib, was da rauskommt.

23.01.2011, 17:08

Hannes2011

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^0 a_{0} \in P:a_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$

23.01.2011, 18:37

Cel

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Summe von 0 bis 0 ... Also steht dann da einfach die Menge $\begin{eqnarray*} \{a | a \neq 0\} \end{eqnarray*}$ . Die Menge, um die es dann schlussendlich geht, ist $\begin{eqnarray*} \{a | a \neq 0\} \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ . Die solltest du kennen ...

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