Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

20.01.2011, 17:43

Simonerd

Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

Meine Frage:
Es seien V ein zweidimensionaler Vektorraum und End(v) der Vektorraum aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} \mbox{Für jedes } \phi \in End(V) \mbox{ sind die Vektoren Id, } \phi, \phi^{2} \mbox{ linear abhängig.} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin etwas verwirrt durch die Bezeichnung von $\begin{eqnarray*} Id, \phi, \phi^{2} \end{eqnarray*}$ als Vektoren, sind das nicht eigentlich Matrizen?

20.01.2011, 17:55

tigerbine

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Zum Verständnis.

Zitat:

Original von Simonerd
Meine Frage:
Es seien V ein zweidimensionaler Vektorraum und End(v) der Vektorraum aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} \mbox{Für jedes } \phi \in End(V) \mbox{ sind die Vektoren Id, } \phi, \phi^{2} \mbox{ linear abhängig.} \end{eqnarray*}$

Ergo sind die Elemente dieses VRs - lineare Abb. - auch nur "Vektoren". Da V endlich ist, kann man den Endomorphismen auch Matrixgestalt geben, wenn man will. Das könnte dann Sinn machen, wenn du ein Gegenbeispiel angeben willst. Dass heißt nicht, dass man das hier machen soll.

20.01.2011, 18:08

Simonerd

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von Simonerd
Meine Frage:
Es seien V ein zweidimensionaler Vektorraum und End(v) der Vektorraum aller linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} \mbox{Für jedes } \phi \in End(V) \mbox{ sind die Vektoren Id, } \phi, \phi^{2} \mbox{ linear abhängig.} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin etwas verwirrt durch die Bezeichnung von $\begin{eqnarray*} Id, \phi, \phi^{2} \end{eqnarray*}$ als Vektoren, sind das nicht eigentlich Matrizen?

Ok, dann behandel ich $\begin{eqnarray*} Id, \phi, \phi^2 \end{eqnarray*}$ als Vektoren.

Aber mir ist da noch etwas eingefallen:

Es handelt sich hier um 3 Vektoren in einem 2 dimensionalem Vektorraum. Sind diese nicht dann IMMER linear abhängig?
Oder meint die Aufgabe, dass jeweils 2 von denen immer linear abhängig sind?

Ein weiterer Punkt ist:

Sei $\begin{eqnarray*} a_i, i = 1,2,3, a_i \in \mathbb K \end{eqnarray*}$

Dann müsste ja für lin. unabh. gelten:

$\begin{eqnarray*} a_1 * Id + a_2 * \phi + a_3 * \phi^2 = 0 \Rightarrow a_1 = a_2 = a_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber ich kann ja einfach sagen: $\begin{eqnarray*} a_1 = 1, a_2 = 0; a_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Und das geht ja auch, wenn ich nur Id und jeweils eines der anderen betrachte.

Wenn diese Annahmen im Sinne der Aufgabe richtig wären, bliebe nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi = \phi^2 * a \end{eqnarray*}$ .

Aber ist das wirklich so gemeint?

20.01.2011, 18:09

tigerbine

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

Zitat:

Es handelt sich hier um 3 Vektoren in einem 2 dimensionalem Vektorraum. Sind diese nicht dann IMMER linear abhängig?

Ist der End(V) wirklich von der Dimension 2?

21.01.2011, 10:31

Simonerd

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Es handelt sich hier um 3 Vektoren in einem 2 dimensionalem Vektorraum. Sind diese nicht dann IMMER linear abhängig?

Ist der End(V) wirklich von der Dimension 2?

Ja, davon ging ich aus. $\begin{eqnarray*} End(V) \end{eqnarray*}$ ist doch sozusagen ein Dualraum von V. Und ein Dualraum hat ja dieselbe Dimension wie der Vektorraum, mit dem er definiert ist.

21.01.2011, 11:31

tigerbine

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit
Warum sollte das der Dualraum sein? Endomorphismen sind nun ja keine Linearformen.

21.01.2011, 11:41

Simonerd

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von tigerbine
Warum sollte das der Dualraum sein? Endomorphismen sind nun ja keine Linearformen.

Ich dachte, der End(V)-Raum würde aus linearen Abbildungen bestehen. Wo ist denn da der Unterschied zum Dualraum?

21.01.2011, 13:34

tigerbine

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RE: Endomorphismus - lineare Abhängigkeit
Dann schlage doch bitte die Definitionen nach. Lineare Abbildung ist deutlich zu ungenau formuliert. Von wo nach wo spielt eine wichtige Rolle. Augenzwinkern

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Endomorphismus - lineare Abhängigkeit

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