Eigenwerte

21.01.2011, 15:26

Dayana90

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Eigenwerte

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Ich lerne gerade für meine Klausur im Februar und bin auf eine Aufgabe über Eigenwerte gestolpert. Leider verstehe ich häuptsächlich nur Bahnhof... Kann mir vllt jemand helfen?
Vielen dank!

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \varphi \in End_{K}(V) \end{eqnarray*}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Zeigen oder widerlegen Sie:

a) Für $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \alpha^n \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \varphi^n = \varphi \circ . . . \circ \varphi \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ .

c) Für $\begin{eqnarray*} \beta_{0}, . . . , \beta_{n} \in K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \beta_{k}\alpha^k \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \beta_{k}\varphi^k \end{eqnarray*}$ .

d) Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Sieht relativ mager aus mit eigenen Ideen...

21.01.2011, 15:29

tigerbine

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RE: Eigenwerte
Was macht einen Eigenwert denn aus?

21.01.2011, 15:49

Dayana90

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Naja die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und das ist das Polynom n-ten Grades $\begin{eqnarray*} P_{A}(\lambda) = det (A - \lambda \cdot E_{n}) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \in M (n \times n , K) \end{eqnarray*}$

21.01.2011, 15:56

tigerbine

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Und warum sind sie das? Wie hängen sie mit den Eigenvektoren zusammen?

21.01.2011, 15:57

Dayana90

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und als Definition hab ich mir aufgeschrieben:

Ein Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ heißt Eigenwert von $\begin{eqnarray*} L ( L : V \rightarrow V) \end{eqnarray*}$ , falls es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit 1. $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ und 2. $\begin{eqnarray*} Lv = \lambda v \end{eqnarray*}$ . Dabei heißt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

21.01.2011, 16:00

tigerbine

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Das bringt einen bei (a) und (d) doch direkt ans Ziel.

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21.01.2011, 16:57

Dayana90

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mich leider nicht wirklich...

mich verwirrt, dass wir $\begin{eqnarray*} \alpha^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha^{-1} \end{eqnarray*}$ haben in a) und d)

verwirrt

21.01.2011, 17:02

tigerbine

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Du hast das Boardprinzip gelesen? Ich werde das nicht vorrechnen. Formuliere dein Rückfragen so, dass man auch antworten kann. Wo ist das Problem, eine Abbildung mehrfach durchzuführen? Was passiert, wenn man da mal die Bilder eines Eigenvektors von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ betrachtet?

21.01.2011, 17:13

Dayana90

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okay dann werde ich mir alle unterlagen, die ich zu diesem thema habe, nochmal durchlesen und auch nochmal versuchen, die aufgaben allein zu lösen. hab ja jetzt schon tipps von dir bekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

falls das dann immer noch nicht klappen sollte, dann melde ich mich und poste alle ideen, die mir dazu einfallen Freude

Freude

21.01.2011, 17:21

tigerbine

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Der Tipp für (a), (d) steht in meinem letzten post. Du musst ihn nur anwenden.

22.01.2011, 12:28

G0rd0nGeKK0

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Zitat:

Original von tigerbine
Du hast das Boardprinzip gelesen? Ich werde das nicht vorrechnen. Formuliere dein Rückfragen so, dass man auch antworten kann. Wo ist das Problem, eine Abbildung mehrfach durchzuführen? Was passiert, wenn man da mal die Bilder eines Eigenvektors von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ betrachtet?

Der Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist dann ja immer das Vielfache vom Eigenwert Gott

Gott

Gott

22.01.2011, 12:54

G0rd0nGeKK0

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Hab mal ne ganz kurze Frage:

Wenn ich Eigenwerte a,b,c habe; Sind dann -a,-b,-c auch Eigenwerte??? Theoretisch schon oder?

22.01.2011, 12:55

tigerbine

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Nein. EV ist ein Vektor, EW ein Skalar. Ein Blick in die Definition sagt:

$\begin{eqnarray*} \varphi(v)=\lambda v \end{eqnarray*}$

Was ist dann

$\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda v)= ? \end{eqnarray*}$

edit:

nein, sind sie i.A. nicht.

22.01.2011, 13:07

G0rd0nGeKK0

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$\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda\cdot v)=\lambda^{2}+ \lambda\cdot v \end{eqnarray*}$

Ich frage deswegen, weil ich bin an einer Aufgabe und rechne 5 Eigenwerte aus:

-2,5,-42,-1,3

und bei meinen Rechnungen taucht im charakterischtischen Polynom $\begin{eqnarray*} (\lambda -1) \end{eqnarray*}$ auf. Das heißt 1 müsste auch ein Eigenwert sein.

22.01.2011, 13:08

tigerbine

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Nein. $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist doch eine lineare Abbildung. Also nochmal.

22.01.2011, 13:13

G0rd0nGeKK0

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$\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda\cdot v)= \lambda\cdot \varphi( v) \end{eqnarray*}$
So jezz aber Big Laugh

Big Laugh

22.01.2011, 13:16

tigerbine

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Nein.

22.01.2011, 13:20

G0rd0nGeKK0

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so jetzt^^

22.01.2011, 13:21

tigerbine

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Heureka. Da geht aber noch mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2011, 13:27

G0rd0nGeKK0

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Ich kann ja noch + rechnen:

Also $\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda\cdot (v+w))= \lambda\cdot (\varphi( v)+\varphi(w)) \end{eqnarray*}$

Meinste das? oder was meinste genau mit "da geht noch mehr" ?

22.01.2011, 13:29

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \varphi(\lambda\cdot v)= \lambda\cdot \varphi( v) \end{eqnarray*}$

Was war v? $\begin{eqnarray*} \varphi(v)=\lambda v \end{eqnarray*}$ Ergo?

22.01.2011, 13:32

G0rd0nGeKK0

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Ich wende den Eigenvektor v auf $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ an und erhalte das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fache des Eigenvektors. Lehrer

Lehrer

22.01.2011, 13:40

tigerbine

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Mein Gott, Gelaber anstatt einfach stur 2 Regeln auszurechnen. Sei v EV zum EW lambda von phi. Dann:

$\begin{eqnarray*} \varphi^2(v)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(\lambda\cdot v)= \lambda\cdot \varphi( v) = \lambda \cdot \lambda v =\lambda^2\cdot v \end{eqnarray*}$

Was kann am also über die EW von $\begin{eqnarray*} \varphi^2 \end{eqnarray*}$ sagen? smile

smile

22.01.2011, 13:47

G0rd0nGeKK0

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Teufel

Teufel

Teufel

Teufel

Big Laugh

Der Eigenwert wird auch quadriert ja^^

22.01.2011, 13:48

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Das bringt einen bei (a) und (d) doch direkt ans Ziel.

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