Banachscher Fixpunktsatz: Fixpunktiteration

22.01.2011, 10:29

eey

Banachscher Fixpunktsatz: Fixpunktiteration

Hallo zusammen,

hab ein Problem mit einer Aufgabe zum Thema Fixpunktiteration. Folgende Gleichung ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} 720-1000x=e^{5x} \end{eqnarray*}$

Und ich soll zeigen dass die Folgende Fixpunktiteration gegen diese Gleichung konvergiert. Die Fixpunktiteration lautet:

$\begin{eqnarray*} x \leftarrow \phi(x)=0.72-0.001\cdot e^{5x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in [0.5,0.7] \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich ja drei Sachen zeigen:

1.) Die Gleichung lässt sich in die Fixpunktform umformen. Das hab ich schon überprüft und es ist der Fall.

2.) Die Fixpunktiteration ist in dem gegebenen Intervall eine Kontraktion. Dazu ist das betragsmäßige Maximum der Ableitung im Intervall zu bestimmen. Das Maximum ist etwa 0.17 also kleiner 1. Somit ist die Fixpunktiteration im Intervall eine Kontraktion.

3.) Die Fixpunktiteration ist eine Selbstabbildung. Hier hab ich mein Problem. Die Fixpunktiteration ist ja streng monoton fallend. Somit genügt zu zeigen dass die Intervallgrenzen noch im Intervall liegen. Setze ich also die Intervallgrenzen in die Fixpunktiteration ein bekomme ich folgende Ergebnisse:

Obere Grenze:
$\begin{eqnarray*} \phi(x=0.7)=0.72-0.001 \cdot e^{5 \cdot 0.7}=0.686884548 \in [0.5,0.7] \end{eqnarray*}$

Untere Grenze:
$\begin{eqnarray*} \phi(x=0.5)=0.72-0.001 \cdot e^{5 \cdot 0.5}=0.707817506 \notin [0.5,0.7] \end{eqnarray*}$

Also ist die Fixpunktiteration KEINE Selbstabbildung, daher dürfte sie auf dem Intervall ja auch nicht konvergieren oder? Wenn ich die Fixpunktiteration mit 0.5 durchführe, konvergiert diese aber TROTZDEM gegen die Lösung der Gleichung.

Warum ist das so? Die Bedingung der Selbstabbildung ist ja nicht erfüllt, weiß jemand wieso das trotdem geht?

Bin um jede Hilfe dankbar, hab die Aufgabe jetzt schon mehrmals gerechnet und komm zu keinem anderen Ergebnis. traurig

Danke schonmal im vorraus,

eey

22.01.2011, 11:01

gotfried

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RE: Banachscher Fixpunktsatz: Fixpunktiteration
Die lokale Variante des Banachschen Fixpunktsatzes besagt nur, dass es genau einen Fixpunkt gibt, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion und eine Selbstabbildung ist. Das heißt nicht, dass es wenn dies nicht gilt es auch keinen eindeutigen Fixpunkt gibt.

Im übrigen gilt hier sogar die allgemeine Variante des Banachschen Fixpunktsatzes.

22.01.2011, 11:18

eey

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Danke schonmal für deine Antwort! Gott

Ich hab das jetzt so verstanden:

Das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Selbstabbildung ist ist nur ein hinreichendes Kriterium, richtig? Also:

- Ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion und eine Selbstabbildung so gibt es genau einen Fixpunkt im Intervall und \phi konvergiert gegen diesen.

- Ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion und keine Selbstabbildung so gibt es einen Fixpunkt (also eventuell auch mehrere) und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ konvergiert je nach Startwert gegen diese Fixpunkte.

Hab ich das so richtig verstanden?

22.01.2011, 13:02

gotfried

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Zitat:

Das eine Selbstabbildung ist ist nur ein hinreichendes Kriterium, richtig?

Genau.

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