Lineare Abbildungen

22.01.2011, 19:35

Broly

Lineare Abbildungen

Hallo,
brauche hilfe bei folgender Aufgabe =)

(a)
Gegeben sei die Abbildung g, die jedem Studenten der Universität eine Matrikelnummer zuordnet, die zwischen 10 000 000 und 99 999 999 liegt, d.h:

g : Menge der Studenten der Universitätl -> { 10 000 000;.......; 99 999 999}
x-> Matrikelnummer(x)

Ist g injektiv? surjektiv? bijektiv?

Hier bin ich ab überlegen ob es injektiv oder bijektiv ist.
Bijektiv wäre es aber nur wenn es genau 99 999 999 Studenten geben würde oder? Somit ist es injektiv weil jede Matrikelnummer höchstens ein mal vergeben ist?

(b)
Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^3 -> \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ wird für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix} ,f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}, f\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(i) Wie lautet die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basen des R3 und des R2?
(ii) Bestimmen Sie den Kern von f (Nullraum) und bestätigen Sie die Dimensionsformel.
(iii) Ist f injektiv?

Wie geh ich hier vor hat i.wer Quellenangaben^^?
Ansonsten würde ich raten und einfach folgendes tun ^^ - was aber sicherlich falsch ist

(I) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & -3 & -1 \\ -10 & 6&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(ii)
Das könnte ich unter umständen ;D da müsste ich aber erst die (i) genau machen.
(iii) muss ich die davor erst machen

(c)
Gegeben sei im R^3 die Basis

$\begin{eqnarray*} B = \left\{ \vec{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{v_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{v_3}=\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R ^3 -> \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ssei durch folgende Festlegung gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(\vec{v_1})=-\vec{v_1} +\vec{v_3}, f(\vec{v_2})=3\vec{v_2} -6\vec{v_3},f(\vec{v_3})=\vec{v_1} +\vec{v_2} -3\vec{v_3} \end{eqnarray*}$ (2)

Ziel ist es, die Matrix A mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(\vec{x})= A \cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, d.h die Matrix von f bezüglich der kanonischen basis

(i) Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der Basis B.
(ii) Schreiben Sie die Vektoren v1 , v2 und v3 mit Hilfe der Vektoren e1, e2, e3 der kanonischen Basis des R^3.
(iii) Zeigen Sie, dass f ( $\begin{eqnarray*} \vec{e1} \end{eqnarray*}$ ), f ( $\begin{eqnarray*} \vec{e2} \end{eqnarray*}$ ) und f ( $\begin{eqnarray*} \vec{e3} \end{eqnarray*}$ )) Lösungen des folgenden Gleichungssystems S sind:

$\begin{eqnarray*} f(\vec{e_1} )+ f(\vec{e_2} ) - f(\vec{e_3} ) = -\vec{e_1} - \vec{e_2} + 2\vec{e_3} f(\vec{e_1} )+f(\vec{e_3} ) = 3\vec{e_1} - 3\vec{e_3} f(\vec{e_3} ) = 2\vec{e_1} +\vec{e_2} -3\vec{e_3} \end{eqnarray*}$

(Man kann dafür (i i) und (2) benutzen )
(iv) Lösen Sie S und leiten Sie heraus die Matrix A her.

Hier habe ich gerade noch keine Idee^^

Grüße und danke^^ bin für jeden Tipp sher dankbar

22.01.2011, 19:45

hnky

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