Gruppe mit Ordnung 24 auflösbar

22.01.2011, 21:44

arctan

Gruppe mit Ordnung 24 auflösbar

Meine Frage:
Hallo,
das Problem steht eig schon im Titel. Ich soll zeigen, dass eine Gruppe mit Ordnung 24 auflösbar ist.

Meine Ideen:
Idee war einen Normalteiler zu finden mit Sylowsätzen:
$\begin{eqnarray*} 24 = 2^3 \cdot 3 \end{eqnarray*}$ aber laut meiner Rechnung sind $\begin{eqnarray*} n_2 = 3 \text{ und } n_3 = 4 \end{eqnarray*}$ möglich.
Ich weiß, dass p-Gruppen auflösbar sind und Gruppen mit Ordnung $\begin{eqnarray*} pq, p^2q, pqr \end{eqnarray*}$ mit p,q,r Primzahlen.
Nach Sylow, gibt es ja zB eine 3-Gruppe die ich gerne rausteilen würde, aber ich bräuchte halt die Normalteilereigenschaft.

22.01.2011, 22:53

jester.

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Hallo,

Du weißt also schon, dass $\begin{eqnarray*} |Syl_2(G)|\in\{ 1,3\} \end{eqnarray*}$ . Wenn es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, dann hast du $\begin{eqnarray*} N\triangleleft G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |N|=8 \end{eqnarray*}$ . Dann kennst du entweder einen Satz der dir weiterhilft ( $\begin{eqnarray*} N\trianglelefteq G, ~ N\neq G \end{eqnarray*}$ , N und G/N auflösbar, daraus folgt G auflösbar - kombiniere dies mit deinem Wissen über p-Gruppen) oder du konstruierst dir mit diesem N eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren - diese existiert genau dann, wenn G auflösbar ist.

Ist $\begin{eqnarray*} |Syl_2(G)|=3 \end{eqnarray*}$ , so operiert $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} Syl_2(G) \end{eqnarray*}$ , was einen nichttrivialen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi ~:~ G\to S_3 \end{eqnarray*}$ liefert. Nun ist $\begin{eqnarray*} |G|>|S_3| \end{eqnarray*}$ , sodass dir der Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einen nichttrivialen Normalteiler liefert, mit dem du ähnlich wie oben arbeiten kannst.

23.01.2011, 14:02

arctan

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Hallo, danke für die schnelle Hilfe,

Der erste Fall ist mir klar.

Beim Fall $\begin{eqnarray*} \left| Syl_2(G) \right| = 3 \end{eqnarray*}$ habe ich noch ein kleines Problem:
Das g transitiv auf der Menge operiert ist für mich erstmal nicht ganz klar. Also die Bahn von einer Sylowgruppe enthält sicher die anderen beiden, weil konjugiert zu den anderen beiden, aber was garantiert mir, dass ich nicht noch weitere konjugierte Gruppen habe?

Anschaulich würde ich sagen, dass konjugierte Gruppen die selbe Ordnung haben (weil ich eine Konjugation ja immer "rückgängig" machen kann und keine Elemente dazubekommen kann, also auch nicht verlieren, hier jetzt bezogen auf die Anzahl), damit wären weitere konjugierte Gruppen ausgeschlossen.
Stimmt das so??

Dann wäre die Transitivität klar. Die Abbildung habe ich auch verstanden, denke ich.
Also bekomme ich einen Kern für den mit Homom.satz: $\begin{eqnarray*} \left| G / \text{Kern}(\phi) \right| = \left| \phi(G) \right| \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} \left| \text{Kern}(\phi) \right| = \frac{\left| G \right|}{ \left| \phi(G) \right|} \end{eqnarray*}$ = 4.

Und damit kann ich das ganze auf den von dir genannten Satz (den ich kenne) zurückführen.

23.01.2011, 14:33

jester.

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Zitat:

Original von arctan
Das g transitiv auf der Menge operiert ist für mich erstmal nicht ganz klar. Also die Bahn von einer Sylowgruppe enthält sicher die anderen beiden, weil konjugiert zu den anderen beiden, aber was garantiert mir, dass ich nicht noch weitere konjugierte Gruppen habe?

Anschaulich würde ich sagen, dass konjugierte Gruppen die selbe Ordnung haben (weil ich eine Konjugation ja immer "rückgängig" machen kann und keine Elemente dazubekommen kann, also auch nicht verlieren, hier jetzt bezogen auf die Anzahl), damit wären weitere konjugierte Gruppen ausgeschlossen.
Stimmt das so??

Die Transitivität kommt daher, dass je zwei p-Sylowgruppen mit festem p konjugiert zueinander sind. Da Konjugation die Ordnung einer Gruppe erhält, operiert G also mit genau einer Bahn auf der Menge der drei 2-Sylowgruppen.
Dass es genau drei 2-Sylowgruppen gibt ist ja die zweite Möglichkeit, die wir hier gerade als gegeben annehmen.

Zitat:

Dann wäre die Transitivität klar. Die Abbildung habe ich auch verstanden, denke ich.
Also bekomme ich einen Kern für den mit Homom.satz: $\begin{eqnarray*} \left| G / \text{Kern}(\phi) \right| = \left| \phi(G) \right| \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} \left| \text{Kern}(\phi) \right| = \frac{\left| G \right|}{ \left| \phi(G) \right|} \end{eqnarray*}$ = 4.

Und damit kann ich das ganze auf den von dir genannten Satz (den ich kenne) zurückführen.

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hier einfach als surjektiv angenommen werden kann. Vielleicht kann das Bild auch isomorph zur zyklischen Untergruppe der Ordnung 3 in der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sein, ich überlegs mir mal. Aber auch diese Eventualität könntest du ja in deine Überlegung einschließen. Auch in diesem Fall sollten die Argumente funktionieren.

23.01.2011, 14:40

arctan

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Zitat:

Original von jester.
Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hier einfach als surjektiv angenommen werden kann. Vielleicht kann das Bild auch isomorph zur zyklischen Untergruppe der Ordnung 3 in der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sein, ich überlegs mir mal. Aber auch diese Eventualität könntest du ja in deine Überlegung einschließen. Auch in diesem Fall sollten die Argumente funktionieren.

Ich könnte sagen, der Kern ist Untergruppe damit teilt seine Ordnung 24.
Damit ist die Ordnung der Form $\begin{eqnarray*} 2^k 3^l \end{eqnarray*}$ k,l entsprechend begrenzt, aber egal wie es nun aussieht ist die Gruppe die ich bekomme wenn ich meinen Normalteiler herausteile immer von der Ordnung so gütig das meine Sätze greifen.

23.01.2011, 15:03

jester.

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So stimmts, wenn man k und l geeignet einschränkt. Z.B. können weder Bild noch Kern trivial (also [l]\{ 1 \}[l]) sein, das Bild kann auch nicht Ordnung 2 haben.

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