Konvergenz numerischer Verfahren (DGL`s)

23.01.2011, 18:01	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz numerischer Verfahren (DGL`s) Meine Frage: Hi, ich habe demnächst eine mündliche Prüfung in "Numerik gewöhnlicher DGLs" und würde zu einem Thema gerne eine Frage stellen, bei der ich mir nicht richtig sicher bin, wie man sie exakt beantworten sollte. Es geht um folgendes: Numerische Verfahren zum Lösen von DGLs (ganz egal ob Einschrittverfahren (ESV) oder lineare Mehrschrittverfahren (LMV) werden allgemein selbstverständlich auf Konvergenz untersucht. Bei ESV genügt es dabei auf Konsistenz und Lipschitzstetigkeit des Problems zu überprüfen, bei LMVs hingegen muss zusätzlich noch die sogenannte Nullstabilität oder Wurzelstabilität untersucht werden. Konvergenz definiert sich dabei als $\begin{eqnarray} lim_{h\rightarrow 0, i \rightarrow \infty} y(t_{i})-y_{i} = 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} y(t_{i}) \end{eqnarray}$ die exakte, $\begin{eqnarray} y_{i} \end{eqnarray}$ die jeweils numerische Lösung darstellen soll. Mein Problem an der Sache ist nun die Limesbildung, also speziell das $\begin{eqnarray} lim_{h\rightarrow 0} \end{eqnarray}$ . Die Konvergenz definiert sich also über die Forderung, dass man $\begin{eqnarray} h\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ laufen lässt, was in der Praxis ja unmöglich ist, da jeder Rechner (je nach Rechenstandart) ab einer gewissen Nachkommastelle rundet und es somit bei zu klein gewähltem $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ wieder zu größeren Fehlern im Algorithmus kommt, da der Rechner rundet. Jetzt gibt es spezielle Differentialgleichungen, die einfach sau schlecht konditioniert sind, bei denen also selbst bei nur geringer Abweichung vom Anfangswert ab einem gewissen Zeitpunkt nur noch Müll herauskommt, ganz unabhängig welches Verfahren gewählt wird (bessere Verfahren zögern den Zeitpunkt nur hinaus). Was genau bedeutet dann aber jetzt eigentlich der Begriff $\begin{eqnarray} Stabilitaet \end{eqnarray}$ z.b $\begin{eqnarray} Wurzelstabilitaet \end{eqnarray}$ eines Verfahrens für das gesamte Problem? Wie könnte man es genau beschreiben? Nur weil bsp. ein MSV konsistent und stabil ist heißt es in der Praxis ja scheinbar nicht, dass es konvergiert (auch wenn es dass von der Theorie her tut). Beziehen sich Konvergenz und Stabilität eines Verfahrens also rein auf die theoretische Ebene, wobei eine Aussage über das Verhaltens des Verfahrens in der Praxis schlicht vermieden wird? Meine Ideen: Danke schonmal für Antworten
23.01.2011, 18:36	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Sätze bzgl Konvergenz usw sind tatsächlich nur eine theoretische Antwort. Ein Beispiel: Du hast selbst gesagt, dass ein konsistentes Einschrittverfahren konvergiert [Annahme die Gleichung ist nett genug]. Aber genau hier tritt das Problem schon auf. Die Theorie sagt uns, dass ich nur die Schrittweite verkleinern muss um ein genaueres Resultat zu erhalten. Wer sagt aber dass der Rechner damit umgehen kann? Speziell bei steifen Differentialgleichungen triffst du das Phänomen an. Vom theoretischen Aspekt reicht immer Explizit Euler aus. In der Praxis geht das aber erstmal gewaltig schief. Ein anderes Beispiel: Du hast sicher mal über die numerische Auslöschung etwas gehört. Die tritt typisch auf, wenn man eine Ableitung numerisch berechnen lassen will. Die Theorie sagt, dass wenn die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, dann existiert der Grenzwert des Differentialquotienten $\begin{eqnarray} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray}$ . Wenn du das numerisch tust, dann steigt der Fehler sogar wieder an wenn du $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu klein nimmst.

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