Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren |
| 23.01.2011, 20:14 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren sei dann sollen wir die LR-Faktorisierung berechnen bzw für welche a dies nicht gilt. Dies habe ich bereits getan: Dies gilt für jedes a ungleich 9, da man sonst durch 0 teilen würde. Im Weiteren sollen wir schauen, für welche Werte von a A positiv definit ist. Hier bin ich geteilter Meinung: Einerseits habe ich folgenden Satz gefunden: "Eine reelle symmetrische quadratische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn das Gaußsche Eliminationsverfahren bei Diagonalstrategie, das heißt ohne Zeilenvertauschungen, mit n positiven Pivotelementen durchgeführt werden kann. Diese Bedingung eignet sich vor allem für Fälle, in denen sowieso das Gauß-Verfahren angewandt werden muss." Dies trifft auf meine Aufgabe zu, oder nicht? Zeilenvertauschungen musste ich keine vornehmen, nur das mit den n-Pivotelementen habe ich nicht ganz verstanden. Ist die Sache dann einfach gegessen wenn ich sage, dass A für jedes a ungleich 9 ist? Das klingt mir zu einfach. Dann habe ich noch eine zweite Information gelesen: "Ferner liefert das Gauß-Verfahren eine Möglichkeit, die Determinante einer Matrix auszurechnen. Da die elementaren Zeilenumformungen die Determinante 1 haben, hat die sich ergebende obere Dreiecksmatrix dieselbe Determinante wie die ursprüngliche Matrix. Die Determinante ist dann einfach das Produkt der resultierenden Diagonaleinträge. Dies gilt allerdings nur dann, wenn keine Zeilenvertauschungen verwendet wurden." Und da eine Matrix genau dann pos. definit ist, wenn ihre Eigenwerte größer 0 sind, habe ich berechnet: und kam auf die EW oder , habe den letzten EW nach a aufgelöst also für a echt größer 10,0723... heißt dies, dass A für jedes a größer 10,0723 pos. definit ist? Oder darf ich die Eigenwerte mit R nicht berechnen? Denn die Eigenwerte mit A zu berechnen ist sehr aufwendig. |
||||
| 23.01.2011, 20:20 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren
Wenn das erfüllt ist dann ist deine Matrix positiv definit |
||||
| 23.01.2011, 20:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Eine symmterische Matrix ist genau dann pos. definit, wenn alle Hauptaschnittsdeterminanten positiv sind. Insbesondere sind dann alle Hauptaschnittsmatrizen regulär, was erklärt, warum eine LR-Zerlegung ohne Pivotierung vorliegen muss. Was ist denn bei LR nach Gauss ein Pivotelelement? |
||||
| 23.01.2011, 20:36 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Junge seid ihr schnell.
Das Pivotelement ist dasjenige Element einer Matrix, welches als erstes von einem Algorithmus (z. B. Gaußsches Eliminationsverfahren, Quicksort oder dem Simplex-Verfahren) ausgewählt wird, um bestimmte Berechnungen mit der Matrix durchzuführen. Bedeutet dies also, dass der oberste linke Term in A (also a_1,1) mein erstes Pivotelement ist? Und danach dann a_2,2 bzw. das dann durch elementarumformung geänderte a_2,2 mein Pivotelement ist? |
||||
| 23.01.2011, 20:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Ja. Wenn man den Algorithmus ohne Pivotisierung durchführt. Stammt der Satz aus deiner Vorlesung? Oder hattet ihr da andere Sätze? |
||||
| 23.01.2011, 20:46 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Nein, das ist eine Definition von Wiki. Habe leider die vorletzte Vorlesung verpasst und in der letzten ging's schon gleich los mit Spalten- und Zeilen-Pivotisieren. also bedeutet das, dass meine Pivote die Diagonaleinträge von R sind? Mein erstes Pivot war ja 1, dann elementare zeilenumformungen auf 2, 3 und 4 angewendet, dann stand in der zweiten zeile an zweiter stelle eine 4. also wenn die diagonalelemente von R positiv sind (also größer als 0), dann ist A positiv definit? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 23.01.2011, 20:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Ich kenne diesen Satz nicht. Wenn ich mich nun richtig erinnere, stehen die Pivots auf der Diagonalen von R. |
||||
| 23.01.2011, 20:57 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren
Ich habe mich auf Math1986 bezogen. Also vertauscht habe ich keine Zeile, demnach ist A pos. def. wenn alle Einträge auf der Diagonalen von R größer 0 sind? Wie würdest du mir denn sonst raten, an die positive Definitheit ranzugehen? Die Determinanten von A zu berechnen finde ich sehr kompliziert. |
||||
| 23.01.2011, 20:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Nur weil ich den Satz nicht kenne, heißt das ja nicht, dass du ihn nicht verwenden kannst. Mit der LR-Zerlegung ist das mit den Determinanten dann auch nicht mehr so schwer. |
||||
| 23.01.2011, 21:04 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Also meinst du, dass ich so nach a auflösen kann? |
||||
| 23.01.2011, 21:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Ich meinte, dass du die Diagonale von R anschauen sollst. |
||||
| 23.01.2011, 21:10 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich die Diagonale anschaue, dann sind r_1,1 und r_2,2 schonmal positiv, r_3,3 ist positiv für a größer 9 und r_4,4 ist positiv für a größer 10,8. Also für jedes a größer 10,8 ist A positiv definit? |
||||
| 23.01.2011, 21:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so würde ich das auch sehen. Die Determinanten lauten: |A[1]| = 1, |A[2]| = 4,, |A[3]| = 4a-36, |A[4]| = 20a-216 |
||||
| 23.01.2011, 21:25 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Nun gut, ich vertraue dir mal 
falls dies nicht die richtige Antwort gewesen sein sollte, melde ich mich wieder 
Wenn in der letzten Determinante a=10,8 dann ist sie 0 bzw größer, dann ist die Determinante positiv. Das ist der Trick? |
||||
| 23.01.2011, 21:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Mit Antworten ist es wie mit den Lottozahlen.
edit: Es sind schon alle Determinanten zu betrachten. Sonst hätte ich sie nicht hingeschrieben. Letzendlich ist die letzte hier nun die Ausschlaggebende. |
||||
| 23.01.2011, 21:30 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Also reicht es, wenn die Hauptaschnittsdeterminanten von A oder R größer 0 sind? Ich dachte die Eigenwerte. |
||||
| 23.01.2011, 21:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Die Unterdeterminanten von A müssen alle positiv sein. Das ist eine äquivalente Formulierung zur positiven Definitheit. (Hurwitz oder Sylvesterkriterium) Warum kommst du nun auf die Eigenwerte? |
||||
| 23.01.2011, 21:37 | IrMel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Ah okay. Dann danke dafür =) Ich komme auf die Eigenwerte, weil es eine weitere Definition für pos. Definitheit gibt, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Ich wollte die ganze Zeit die Eigenwerte betrachten, aber wenn es reicht die Unterdeterminanten von A zu betrachten, bin ich ja sofort fertig =) |
||||
| 23.01.2011, 21:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Positive Definitheit mit Gaußschem Eliminationsverfahren Ja, es gibt mehrere Sätze, die eine Äquivalenz zu der pos. Definitheit geben. Und die Eigenwerte wollen wir hier nicht nehmen. 
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
