Elemente bestimmen

24.01.2011, 19:39

Lyric

Elemente bestimmen

Meine Frage:
Es sollen alle Elemente von

a) $\begin{eqnarray*} Q[³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} Z [³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$

bestimmt werden

Meine Ideen:
Leider bin ich etwas ratlos wie ich überhaupt beginnen soll...

24.01.2011, 19:51

Abakus

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RE: Elemente bestimmen
Hallo,

welche Elemente sind denn mit Sicherheit drin?

Grüße Abakus smile

24.01.2011, 20:24

Lyric

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RE: Elemente bestimmen
Hallo! Vielen Dank für deine schnelle Antwort... Hier ein paar überlegungen... Bitte hab geduld traurig

Ringe/Körper und co sind nicht ganz meine stärke... :s

Wurden wir von reinen Q bzw Z ausgehen, dann würde ich sagen:

- Menge aller geordneten Paare (a,b) ganzer Zahlen bis auf diejenigen Paare, bei denen b = 0 .... Diese Elemente sind auf jeden fall bei Q drin...

Da die rationalen Zahlen "Q" eine Teilmenge erhalten, die zu zu den ganzen Zahlen "Z" isomorph ist, kann ich dann davon ausgehen das $\begin{eqnarray*} Q[³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$ aufjedenfall in $\begin{eqnarray*} Z[³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$ erhalten ist?

Was genau bewirkt die Zahl zwischen []? Wie muss ich damit umgehen?
verwirrt

24.01.2011, 22:23

Lyric

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RE: Elemente bestimmen
mit sicherheit drin, sind:

das neutrale element
ein neutrales element bezüglich der verknüpfung

24.01.2011, 23:04

Abakus

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RE: Elemente bestimmen

Zitat:

Original von Lyric
a) $\begin{eqnarray*} Q[³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} Z [³\sqrt{2} ] \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal nachgefragt: wie habt ihr diese Bezeichnung definiert? (ich frage, weil es mehrere Möglichkeiten gibt)

Drin sind alle Elemente der Menge und natürlich das adjungierte Element, klar. Jetzt kommen noch Verknüpfungen von Elementen dazu.

Grüße Abakus smile

25.01.2011, 11:05

Lyric

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Gut, es handelt sich um Ringe... Polynomringe

R [a] ist der kleinster Ring, der R und a enthält...

R [a] entsteht aus R durch adjunktion (Ringadjunktion) von a...

ist folgende überlegung richtig? :

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q\left[³\sqrt{2}\right] =\left\{a+b*³\sqrt{2}| a,b \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray*}$

- neutrales Element bezüglich der Addition= o aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ (also a=b= 0)

- neutrales Element bezüglich der Multiplikation ist a=1 und b= 0... Inverse sind somit in der Menge enthalten

verwirrt

Ist die Überlegung so ok?

25.01.2011, 12:02

Lyric

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beziehungsweise:

Ich habe eine Definition im Skript gefunden:

Seien R c R* kommutative Ringe mit demselben Einselement 1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R*. Dann heißt ein Ausdruck der gestalt

$\begin{eqnarray*} f(\alpha )=\sum\limits_{k=0}^n a_{k} *\alpha^{k} \end{eqnarray*}$ , mit

$\begin{eqnarray*} a_{k}\in R, \alpha^{0} :=1 \end{eqnarray*}$ , ein Polynom (in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit konstanten aus R). Die Menge aller solche Polynome heißt ein Polynomring und wird mit R[ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ] bezeichnet.

Wenn ich das als "Hilfe nehme" erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} f(\sqrt[3]{2} )=\sum\limits_{k=0}^2 a_{k} *\alpha^{k}=a_{0} *(\sqrt[3]{2})^{0} +a_{1}*(\sqrt[3]{2})^{1}+a_{2} *(\sqrt[3]{2})^{2} \end{eqnarray*}$

und somit sind alle Elemente von Q:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q\left[\sqrt[3]{2} \right]= \left\{ a_{0}+ a_{1}*\sqrt[3]{2}+a_{2}* (\sqrt[3]{2})²| a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 17:41

Abakus

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Zitat:

Original von Lyric
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q\left[\sqrt[3]{2} \right]= \left\{ a_{0}+ a_{1}*\sqrt[3]{2}+a_{2}* (\sqrt[3]{2})²| a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$

Das sollte die Lösung sein, ja. Dass du diese Elemente erzeugen kannst, ist wohl klar. Habt ihr dazu noch weitere Sätze gemacht?

Irgendwie müsstest du noch zeigen, dass das wirklich alle Elemente sind, denke ich.

Grüße Abakus smile

25.01.2011, 18:54

Lyric

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ich kann es nicht "schön schreiben"

Ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} Q\left[\sqrt[3]{2}\right]=\left\{a_{0}+a_{1}*\sqrt[3]{2}+a_{2}*(\sqrt[3]{2})^{2}|a_{0},a_{1},a_{2}\in Q\right\} \end{eqnarray*}$

-> neutrales Element bzgl addition= 0 aus Q (a=b=c=0)
-> neutrales Element bzgl multip. a=1, b=c=0
(Für b=c=0 erhält man alle elemente aus Q)

Ist das ok?

und zu b hatte ich folgende überlegung:

$\begin{eqnarray*} Z\left[\sqrt[3]{2}\right]=\left\{a_{0}+a_{1}*(\sqrt[3]{2})^{3}|a_{0},a_{1},\in Z\right\} \end{eqnarray*}$

hier hab ich mir überlegt, dass wenn sich die dritte Wurzel aufhebt, es ein Element dieser Gruppe sein kann...

-> neutrales Element bzgl addition= 0 aus
-> neutrales Element bzgl multip. a=1, b=0

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