Lineares Gleichungssystem mit allgemeiner und spezieller Lösung

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24.01.2011, 20:12	Denny Crane	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem mit allgemeiner und spezieller Lösung Meine Frage: Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem und geben Sie im Falle einer mehrdeutigen Lösung sowohl die allgemeine Lösung als auch zwei spezielle Lösungen an! x1 - x2 + x3 - x4 = 1 x1 - x2 - x3 + x4 = 0 x1 - x2 - 2x3 + 2x4 = -1/2 Meine Ideen: Hallo, ich habe eine Übungsklausur mit o.a. Aufgabenstellung. Leider fehlt mir dazu die Beispiellösung und ich bräuchte irgendwie einen kleinen "Schubs" wie ich diese Frage angehen kann. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen? Danke im Voraus!
24.01.2011, 20:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem mit allgemeiner und spezieller Lösung Was weißt du denn so über die "Lösbarkeit" von linearen Gleichungssystemen. Welchen Rang hat hier die Matrix? Ist sie quadratisch?
24.01.2011, 20:39	Denny Crane	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten einige Übungen mit Basistransformation, bin mir aber nicht sicher ob ich das hier anwenden kann, da die Matrix (wenn ich das richtig verstanden habe) nicht quadratisch ist: $\begin{eqnarray} M_{(3,4)} \end{eqnarray}$ . Oder spielt das keine Rolle? Denn dann würde ich das so schreiben: NBV\| x1 x2 x3 x4 \| v ---\|-----------\|------ e1 \| 1 -1 1 -1 \| 1 e2 \| 1 -1 -1 1 \| 0 e3 \| 1 -1 -2 2 \| -1/2 Das war meine erste Idee, aber ich habe Angst mich zu "verrennen" und mir was völlig Falsches zusammenzureimen :-)
24.01.2011, 20:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das LGS ist unterbestimmt. Mach doch einfach stur Gauss.
24.01.2011, 20:50	Denny Crane	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Das Problem (naja, Problem eigentlich nicht :-)) ist, dass der Prof während der Vorlesung ausgeschlossen hat dass das Gauß'sche Eliminationsverfahren geprüft wird. Die einzige Möglichkeit die ich mir noch vorstellen könnte ist, dass die Übungsklausur aus einer Zeit stammt in der Gauß noch geprüft wurde... Ansonsten hatten wir zum Lösen der LGS nur die Basistransformation und die Umstellung der Matrizengleichung Ax=b. Da waren die Matrizen aber alle quadratisch.
24.01.2011, 20:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Basistransformation ist was? Link zum Verfahren? Das an was ich denke scheint mir weit aufwändiger als Gauss.
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26.01.2011, 18:46	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sitz auch grad dran das mit der speziellen Lösung zu verstehen und hab einfach mal probiert die Aufgabe zu rechnen. Evtl. könnt mir ja jemand mal schnell Feedback geben, ob es richtig ist was ich da gemacht hab. 1 Schritt hab den Gauß gemacht bis ich die Matrix in Zeilenstufenform hatte. hab dann als Lösungsmenge (1+t, 1/2+t,1/2+t,t) hab dann t =0 gesetzt und als spezielle Lösung (1,1/2,1/2,0) raus. 2 Schritt Die Lösungsmenge für obige Matrix im homogenen LGS gesucht. Dabei erhalte ich (t,t,t,t) hab dann t ausgeklammert ergibt: t(1,1,1,1) 3 Schritt Addition von spezieller Lösung und Lösungsmenge vom homogenen GS Ergebnis (1+t,1/2+t,1/2+t,t) Meine Frage wäre, wie ich das Ergebnis, soferns richtig ist interpretieren kann. gruß
26.01.2011, 18:59	ES	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs grad mal gerechnet. Schreib dir immer erst mal die Matrix hin. Rechne dann was für einen Rang die Matrix hat -> Zeilenstufenform. Du wirst sehen, dass zwei Nullzeilen entstehen. Das gibt dir schon mal die erste Info: Dein Lösungsraum muss zwei-dimensional sein! Vorgehensweise ist bei uns immer so, dass wir Lösung des homogenen Systems bestimmen und dann eine Lösung des speziellen LGS ausrechnen. Vorstellen kann man sich dass zum Beispiel so, dass das homogene LGS als Lösungsraum eine Ebene durch den Urpsrung hat und mit dem inhomogenen kommt noch der Stützpunkt dazu. Forme am Besten mal deine erweiterte Matrix nach Gauß um. Dann hast du am Ende irgendwas wo links oben in der Ecke eine 1 steht. Meld dich wieder und poste deine bearbeitete Matrix Grüße
26.01.2011, 19:26	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. du hast vollkommen recht. ich hab mich in der ersten Zeile bei der ersten Umformung verrechnet :-) und jetz die ganze Aufgaben falsch... ich probiers nochmal :-)
26.01.2011, 19:41	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. jetz wollt ich grad weiterrechnen aber jetz häng ich fest. hab nach Gauß umgeformt und hab die beiden Nullzeilen raus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ normalerweise vergeb ich doch jetz Parameter. Bisher war aber immer nur ein Parameter notwendig. WIe mach ichs in diesem Fall? thx
26.01.2011, 19:53	ES	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bist du eigentlich schon fertig! Der Lösungsraum deines homogenen LGS wird durch die Vektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\0\\1 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\0\\0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannt. Eine spezielle Lösung für das inhomogene ist dann einfach dein rechtes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0\\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das vom inhomogenen versiehst du noch mit Parametern und addierst die spezielle Lösung dazu und fertig! Hatte mich vorher übrigens verschaut :-) ! Lösung ist natürlich 3 - Dimensional ! Dein Rang der Matrix ist Rg= 1 und die Dimension des Raumes ist 4. Lösung. Also ist Kern = 3
26.01.2011, 20:18	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. du wendest jetz für mich was vollkommen neues an. Bisher war bei mir immer ein Parameter zu vergeben und so konnte ich direkt eine parameterabhängige Lösungsmenge benutzen. Hab dann eine spezielle Lösung gesucht und diese dann mit der Lösungsmenge des homogenen LGS addiert. Du spannst quasi einen Lösungsraum auf aber was ich da nicht ganz versteh ist wie du da einfach die ersten 3 Spalten nimmst und die letzte außer acht läßt?
26.01.2011, 22:03	ES	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es genau so machen wie du es beschrieben hast. Ist im Endeffekt das gleiche wie meine Vorgehensweise. Grüße ES
27.01.2011, 09:31	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. Lösung ist dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1+q-r+s \\q \\ r \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??
27.01.2011, 17:25	ES	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der 1 bin ich nicht ganz einverstanden. Sonst sieht es sehr gut aus! Meine Lösung ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q-r+s \\q \\ r \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Grüße ES
28.01.2011, 13:27	Hokeydo	Auf diesen Beitrag antworten »
Merci

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