Reihe berechnen

25.01.2011, 16:15

Aufmschlauchsteher

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Reihe berechnen

Hallo!

Meine Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^i \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$

Ich kam mit Summenzeichen noch nie wirklich zurecht und in Bezug auf Reihen fällt es mir noch schwerer.. Also hat jmd einen Ansatz für mich?

lg und danke im voraus!

25.01.2011, 16:41

Aufmschlauchsteher

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RE: Reihe berechnen
das $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ irrietiert mich besonders, da angenommen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist eine gerade zahl, stünde da: [latex]1+(-1)+1+(-1)+..+(-1) = 0[latex] und die ganze Summe ergäbe 0 oder sehe ich das völlig falsch?

25.01.2011, 16:55

ThomasL

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RE: Reihe berechnen
wenn du die Summenzeichen vertauschst (warum darf man das?), so entsteht eine bekannte Reihe...

25.01.2011, 17:11

Aufmschlauchsteher

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wegen dem kommutativgesetz bei summation.
dann erhält man die geometrische reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^\infty (-1)^i \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty(-1)^i = \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.
Wie verhält es sich aber mit dem Rest?

25.01.2011, 21:08

ThomasL

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Zitat:

Original von Aufmschlauchsteher
wegen dem kommutativgesetz bei summation.

Nein. Wenn eine Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, so spielt die Reihenfolge der Summanden durchaus eine Rolle. Du musst also zeigen, dass die Doppelreihe absolut konvergiert, dh. dass die Beträge $\begin{eqnarray*} \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ in irgendeiner Reihenfolge aufsummiert konvergieren.
(Stichwort Doppelreihensatz oder Grosser Umordnungssatz)

26.01.2011, 14:35

Snatcher

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Ich muss die selbe Aufgabe berechnen. Ich habe den Doppelreihensatz auf das folgende Beispiel verstanden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,k=1}^\infty \frac{-1^{k} }{i^{k} }= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Aber in Bezug auf diese Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch und finde keine Ansatz den Doppelreihensatz anzuwenden.

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26.01.2011, 14:58

Manni Feinbein

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty (-1)^i \frac{k^i}{i!4^k}=\sum_{k=0}^\infty \frac 1{4^k}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-k)^i}{i!}=\ldots \end{eqnarray*}$

29.01.2011, 11:37

Herry90

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ich muss diese aufgabe auch lösen und bis zu diesem schritt bin ich auch noch gekommen, aber nun weiß ich nicht, wie ich die 2. summer anders schreiben kann
wär nett, wenn ihr mir da einen tip geben könntet

29.01.2011, 11:53

Q-fLaDeN

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Erinner dich mal an die Reihendarstellung der Exponentialfunktion...

29.01.2011, 11:56

Herry90

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ach stimmt, bis auf das minus im zähler entsprichts ja der reihendarstellung der exponentialfunktion
danke

29.01.2011, 15:22

Wraith720

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Aber die Summen tauschen darf ich doch erst wenn man gezeigt hat , dass die Doppelreihe schon absolut konvergiert.

Wie zeige ich denn, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich hatte das versucht:

Es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ kovergent $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ kovergent
Also kann ich auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{k^i}{i!4^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k} \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{k^i}{i!} \end{eqnarray*}$
So jetzt ist die zweite Summe die Exponentialreihe, also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k} \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{k^i}{i!}=(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k}) e^k \end{eqnarray*}$

Und das divergiert doch, oder bin ich das auf dem Holzweg???

29.01.2011, 17:24

Q-fLaDeN

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Nein, auch das würde konvergieren. Du hast jedoch die $\begin{eqnarray*} (-1)^i \end{eqnarray*}$ vergessen, damit ergibt sich eine etwas andere Reihe.

29.01.2011, 20:03

Gast898

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@Q-fLaDeN:
Muss man nicht bei der Regel jeweils den Betrag betrachten für die Konvergenz?
Damit wird $\begin{eqnarray*} (-1)^{i} \end{eqnarray*}$ zu 1 oder sehe ich das falsch?

30.01.2011, 00:03

Q-fLaDeN

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Da kann ich dir leider nicht weiterhelfen, ich dachte dir geht es jetzt um die Berechnung der Reihe und nicht darum, zu zeigen, dass die Reihen absolut konvergent sind. Wenn deine Überlegungen aber stimmen, dann ist auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{e^k}{4^k} \end{eqnarray*}$

konvergent (geometrische Reihe).

30.01.2011, 13:44

EnteWurzel

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Ich hänge auch bei dieser Aufgabe. Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{e^k}{4^k} \end{eqnarray*}$ konvergent ist?

Ich weiß nur, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 1/4^{k}=1/(1+1/4) \end{eqnarray*}$ , hoffe ich jedenfalls, sonst habe ich es falsch verstanden.

30.01.2011, 13:48

dr.morrison

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Hi,

ganz einfach, wiedermal geometrische Reihe. Setze (e/4), das erfüllt (e/4)<1, und somit konvergiert die Reihe. Außerdem muss es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1- \frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$ bei deiner letzten Summe heißen. Lg, dr.morrison

30.01.2011, 13:48

Q-fLaDeN

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Das sollte nun wirklich kein Problem mehr darstellen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{e^k}{4^k} = \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac e 4 \right)^k \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 13:55

EnteWurzel

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geschockt

Oh nein.Stimmt ja. Ich sollte mich wohl einfach mehr konzentrieren. Dankeschön!

30.01.2011, 14:27

EnteWurzel

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Dadurch, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert (= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{e}{4} } \end{eqnarray*}$ ), konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^i \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$ absolut und ich darf die Summanden vertauschen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty (-1)^i \frac{k^i}{i!4^k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^\infty \frac 1{4^k}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-k)^i}{i!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^\infty \frac 1{4^k}*e^{-k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty (4e)^{-k} \end{eqnarray*}$

Mit -k komme ich allerdings nicht weiter und ich habe die starke Befürchtung, dass sich in meiner Rechnung davor schon ein ganz blöder Fehler eingeschlichen hat!!!

30.01.2011, 14:30

EnteWurzel

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$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(4e)^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\frac{1}{1-4e} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1-4e \end{eqnarray*}$

?

30.01.2011, 14:50

Wraith720

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Nö...
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(4e)^{k} }=\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{1}{4e})^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{1-\frac{1}{4e} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4e}{4e-1} \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 15:39

EnteWurzel

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Dankeschön Freude

Freude

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