Grenzwertberechnung

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26.01.2011, 18:35

HRES

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Grenzwertberechnung

Meine Frage:
Hallo Leute
ich hab ein problem unglücklich

wie berechnet man den grenzwert der Funktion f(x)= x²+2x+9 / (x-7)*(x+2)
ich brauche eure Hilfe..

Danke! smile

Meine Ideen:
keine

26.01.2011, 18:36

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Nenner ausmultiplizieren und dann höchste Potenz ausklammern und Limes Regeln anwenden

26.01.2011, 18:55

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
Nenner ausmultiplizieren und dann höchste Potenz ausklammern und Limes Regeln anwenden

also: x²+2x+9 / x²-5x-14
soll ich x² ausklammern? ----> x²(1+2x+9) / x²(1-5x-14)

was soll ich danach machen? smile

26.01.2011, 18:56

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Den Grenzwert berechnen, an welcher Stelle sollst du ihn den berechnen, das hast
du bisher nämlich noch nicht gesagt. Falls für Unendlich ist das Ausklammern von x²
notwendig, ansosnten ist es nicht nötig. Du hasts aber wegen fehlernder Klammer-
setung falsch gemacht.

$\begin{eqnarray*} \frac{x²(1+\frac{2}{x}+\frac{9}{x^2}) }{ x²(1-\frac{5}{x}-\frac{14}{x^2})} \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 18:58

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
ja also ich soll es für Unendlich machen..
wie würde es dann aussehen?

26.01.2011, 19:00

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x²(1+\frac{2}{x}+\frac{9}{x^2}) }{ x²(1-\frac{5}{x}-\frac{14}{x^2})} \end{eqnarray*}$

Was passiert mit den Termen in den Klammern, wenn x unendlich groß wird?

26.01.2011, 19:04

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
gleich null?

26.01.2011, 19:05

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Genau, das heißt es bleibt nur nch folgendes übrig.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{x^2}{x^2} \end{eqnarray*}$

Was macht das?

26.01.2011, 19:07

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
ist das nicht gleich eins?

26.01.2011, 19:10

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
genau

26.01.2011, 19:12

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
also der Grenzwert liegt bei 1 ? smile

26.01.2011, 19:17

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
JA für +UNENDLICH und für -UNENDLICH

26.01.2011, 19:22

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
alles klar! Danke schön Big Laugh

hab leider noch eine Funktion..

f(x)= x³+2 / x²+2 ---> hab zuerst x² ausgeklammert --> x²(x+2/x²) / x²(x+2/x²)

und wie rechne ich jetzt weiter?

ps. wieder für unendlich

26.01.2011, 19:28

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Na da gehts genauso.

$\begin{eqnarray*} \frac{x³+2}{ x²+2}=\frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{ x^2(1+\frac{2}{x^2})} \end{eqnarray*}$

Wieder den Klammerausdrück betrachten, was passiert damit?

Es entsteht folgendes

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 19:33

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
Na da gehts genauso.

$\begin{eqnarray*} \frac{x³+2}{ x²+2}=\frac{x^2(x+\frac{2}{x^2}}{ x^2(1+2\frac{2}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Wieder den Klammerausdrück betrachten, was passiert damit?

Es entsteht folgendes

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$

ich verstehe gerade nicht woher du die 2 in der klammer bei $\begin{eqnarray*} 2*2/x² \end{eqnarray*}$ hast?

kommt in der Klammer wieder null raus?

26.01.2011, 19:35

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Sorry das war ein Schreibfehler, entschuldige.

Ja in der Klammer kommt soweit Null raus, was passiert mit den Term der übrig
bleibt?

26.01.2011, 19:38

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
okey gut smile

hmm..gute frage..weiß leider nicht unglücklich

26.01.2011, 19:40

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Es bleibt doch folgendes übrig.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2}=x \end{eqnarray*}$

Durch kürzen erhält man, dann dies als Grenzwert, jetzt kannst ihn ermitteln.

Deshalb schaut man sich immer nur die höchste vorkommende Potenz und den
davorstehenden Koeffizienten bei Zähler und Nenner bei gebrochenrationalen
Funktionen an. Das ist immer das gleiche Vorgehen.

26.01.2011, 19:41

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
Na da gehts genauso.

$\begin{eqnarray*} \frac{x³+2}{ x²+2}=\frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{ x^2(1+\frac{2}{x^2})} \end{eqnarray*}$

Wieder den Klammerausdrück betrachten, was passiert damit?

Es entsteht folgendes

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$

wieso kommt x³/x² raus und nicht x²/x² ?

26.01.2011, 19:44

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
Es bleibt doch folgendes übrig.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2}=x \end{eqnarray*}$

Durch kürzen erhält man, dann dies als Grenzwert, jetzt kannst ihn ermitteln.

Deshalb schaut man sich immer nur die höchste vorkommende Potenz und den
davorstehenden Koeffizienten bei Zähler und Nenner bei gebrochenrationalen
Funktionen an. Das ist immer das gleiche Vorgehen.

tut mir leid aber ich versteh es gerade nicht..was muss ich dann nach dem kürzen machen wenn ich nur x stehen hab?

26.01.2011, 19:46

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to\infty} \frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{ x^2(1+\frac{2}{x^2})} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(x+0)}{ x^2(1+0)}=\frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 19:48

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
ahh okey gut danke kapiert Big Laugh

was mach ich jetzt nach dem kürzen? x ist doch nicht mein grenzwert?

26.01.2011, 19:51

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Bestimme den Grenzwert von x, das sollte nicht so schwierig sein.

26.01.2011, 19:52

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
wie denn?

26.01.2011, 19:53

Iorek

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to\infty} \frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{ x^2(1+\frac{2}{x^2})} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(x+0)}{ x^2(1+0)}=\frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug was hier steht, du kannst doch nicht einfach auf einen Teil den Limes anwenden und den anderen komplett unbeachtet lassen!

Klammer lieber mal im Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz aus, das ist im Zähler x³, im Nenner ist es x².

26.01.2011, 19:54

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Setze Unendlich ein für x, was kommt dann raus. Oder anders gefragt, wie sieht
den der Graph der Funktion aus für sehr große x Werte?

26.01.2011, 19:56

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

haha also ist das alles falsch, was wir bis jetzt gemacht haben?!

x³(1+2/x³) / x²(1+2/x²) so das hab ich jetzt gemacht..

26.01.2011, 19:59

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Ist nicht falsch, das geht schon so, es ist deine Sache ob dir sein Weg besser
gefällt als meiner.

Denn wir müssen nun den Grenzwert bestimmen von:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to\infty} x=\ldots \end{eqnarray*}$

Und wie lautet dieser dann?

26.01.2011, 20:02

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
unendlich?

26.01.2011, 20:02

Iorek

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von baphomet
Ist nicht falsch, das geht schon so, es ist deine Sache ob dir sein Weg besser
gefällt als meiner.

Da würde ich widersprechen, was du geschrieben hast, ist mathematischer Unsinn, $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac {2}{x^2})}=\frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig!

Die angestrebten Umformungen sind zwar vllt. brauchbar, deine Durchführung ist aber schlichtweg falsch. Der Grenzwert stimmt zwar überein, allerdings ist gerade in der Mathematik die richtige Schreibweise notwendig.

26.01.2011, 20:03

HRS

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von baphomet
Ist nicht falsch, das geht schon so, es ist deine Sache ob dir sein Weg besser
gefällt als meiner.

wie würdest du diese aufgabe lösen? smile

26.01.2011, 20:05

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Also der Grenzwert von dir ist korrekt. Falls weitere Aufgaben da sind können
wir die noch behandeln.

Zitat:

Original von Iorek

Da würde ich widersprechen, was du geschrieben hast, ist mathematischer Unsinn, $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac {2}{x^2})}=\frac{x^3}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig!

@Iorek

Das ist gar nicht wahr und außerdem ist die Aufgabe völlig korrekt gelöst, warum jetzt
so pingelig, bei anderen Sachen interessierts auch keinen. Das passt schon so.

26.01.2011, 20:07

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
okey!

also ist der Grenzwert dieser Aufgabe undendlich?

26.01.2011, 20:07

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Für +UNENDLICH auf jeden Fall

26.01.2011, 20:08

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
und für -unendlich?

26.01.2011, 20:10

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung
Dann denk mal scharf nach, wie verläuft diese Funktion für große negative x-Werte?

26.01.2011, 20:11

HRS

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RE: Grenzwertberechnung
keine ahnung :S

26.01.2011, 20:12

baphomet

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RE: Grenzwertberechnung

Was sagt der Graph für große negative x?

26.01.2011, 20:14

Iorek

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@HRS, ich würde entweder von Beginn an die jeweils höchste Potenz ausklammern, es geht aber auch mit baphomets Umformungen. Allerdings sollte man die Umformungen auch vollständig durchführen und keine halben Grenzwerte bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^2(x+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac {2}{x^2})}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac{(x+\frac{2}{x^2})}{(1+\frac {2}{x^2})} \end{eqnarray*}$ , jetzt kann man entweder im Zähler noch einmal $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausklammern oder (mit Begründung) direkt den Grenzwert bestimmen.

@baphomet, deine Umformung ist nach wie vor falsch; du darfst nicht einfach auf eine Hälfte den Limes anwenden und die andere stehen lassen! Das hat auch nichts mit pingelig sondern mit mathematischer Korrektheit zu tun! Wenn du keinen Wert auf Korrektheit legst, ist das deine Sache, aber bitte verbreite solche falschen Schreibweisen dann nicht auch noch.

26.01.2011, 20:15

baphomet

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