lineare abbildung

25.11.2006, 18:52

stefan123

lineare abbildung

Sei f: V --> W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V,W und sei S ein Erzeugendensystem von V.
Zu zeigen:
(a) Falls S eine Basis von V ist, so ist f genau dann ein Isomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} (f(x))_{x \in S} \end{eqnarray*}$ eine Basis von W ist.

Hier kann ich doch bei dieser Aufgabenstellung nicht annehmen, dass S eine endliche Basis ist oder?
"<=" ist mir eigentlich klar, aber bei "=>" würd ich mich über ein paar tipps sehr freuen.

(b) Falls U Teilmenge von V ein endlich erzeugter Unterraum und f ein Isomorphismus ist, so gilt dimf(U)=dimU.

Das kann ich doch mit der Dimensionsformel für lineare Abbildung recht einfach lösen oder darf man die nicht auf Unterräume anwenden?

27.11.2006, 15:51

Mathespezialschüler

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Nein, du kannst nicht annehmen, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endlich ist. Das ist aber egal, da jede Linearkombination einer Menge nach Definition immer endlich ist (auch wenn die Menge unendlich ist).
Du musst ja bei der Hinrichtung zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (f(x))_{x\in S} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist. Zur linearen Unabhängigkeit: Für beliebige $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n\in S \end{eqnarray*}$ gelte

$\begin{eqnarray*} a_1f(x_1)+\ldots+a_nf(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt wegen der Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(a_1x_1+\ldots+a_nx_n)=0 \end{eqnarray*}$ .

Beachte nun noch $\begin{eqnarray*} 0=f(0) \end{eqnarray*}$ . Zu beweisen, dass es ein EZS ist, solltest du selbst hinbekommen!

Zitat:

Original von stefan123
Das kann ich doch mit der Dimensionsformel für lineare Abbildung recht einfach lösen oder darf man die nicht auf Unterräume anwenden?

Doch, natürlich darfst du die auch auf Unterräume anwenden!

Gruß MSS

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