Problem mit Term i.d. Ungleichung (vollst.Ind.)

26.01.2011, 22:26

monet

Problem mit Term i.d. Ungleichung (vollst.Ind.)

Hallo

,

folgendes Prob.: Ich kommen einfach nichtdahinter, wie man auf die Ungleichung
in der Zeile 3. kommt

Ausgangsformel: $\begin{eqnarray*} 2n+1 < 2^n \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} 2(n+1)+1 < 2^n+1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 2n+3 < 2*2^n \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} 2^n+2 < 2^n+2^n \end{eqnarray*}$ Hier setzt meine Frage an.

Wie kommt der Term $\begin{eqnarray*} . . . < 2^n+2^n \end{eqnarray*}$ in 3. zustande ??

für einen Tipp wäre ich dankbar smile

gruß monet

26.01.2011, 22:35

chrizke

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[d]Das ist gar nicht so kompliziert:

$\begin{eqnarray*} 2^n+3<2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$
Rechts nutzt du die Gleichheit und links schätzt du einfach ab, dass 2 kleiner als 3 ist Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2^n+2<2^n+3<2\cdot 2^n = 2^n+2^n \end{eqnarray*}$ [/d]

EDIT: Halt, hier hab ich übersehen, dass ein n im Exponenten steht!

26.01.2011, 22:49

monet

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ok, ich warte noch smile

26.01.2011, 22:54

Iorek

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Du fragst also nur nach der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^n+2<2^n+2^n \end{eqnarray*}$ ? Oder gibt es auch hier einen größeren Gesamtzusammenhang der Aufgabe der bisher verschwiegen worden ist? Ich würde mich nämlich viel mehr nach der ersten Ungleichung fragen, diese ist nämlich allgemein nicht richtig.

26.01.2011, 22:59

monet

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Hallo,

hier die Aufgabe mit Lösungsweg:

[attach]17827[/attach]

gruß monet

26.01.2011, 23:05

Iorek

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Damit hätten wir jetzt also eine Einschränkung für n und einen Fehler in deiner ersten und so wie ich das sehe wahrscheinlich auch in deiner zweiten Ungleichung. unglücklich

Welchen Schritt an der Lösung verstehst du nicht? Es wurde nur die Induktionsvoraussetzung angewendet und die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 2^n+2<2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ gemacht, worauf beziehst du dich mit deinen Ungleichungen?

26.01.2011, 23:14

monet

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Zitat:

@Iorek
Welchen Schritt an der Lösung verstehst du nicht?

Der steht in meinem
ersten Beitrag.

Das habe ich gesehen, dass für $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ der Term $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$
eingesetzt wurde.

Zitat:

@Iorek
und so wie ich das sehe wahrscheinlich auch in deiner zweiten Ungleichung

welche meinst du verwirrt

gruß monet

26.01.2011, 23:17

Iorek

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Der kommt aus der Zeile dadrüber, im Beweis wurde $\begin{eqnarray*} 2n+1+2<2^n+2 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt und jetzt schätzt man das ab gegen $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^n+2^n \end{eqnarray*}$ , was man ja zeigen will.

26.01.2011, 23:23

monet

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was ist dann mit dem Faktor 2 vor $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ passiert. Das verstehe ich nicht...

26.01.2011, 23:24

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n = 2^n +2^n \end{eqnarray*}$ ...

26.01.2011, 23:31

monet

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Das steht so in der Aufgabe, ok, aber was ist mit der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ passiert. Wenn ich das so verstanden habe, bedeutet
das dann $\begin{eqnarray*} 2 = 2^n \end{eqnarray*}$ Aber nach dem Potenzgesetz
ist doch $\begin{eqnarray*} 2*2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht??

26.01.2011, 23:39

Iorek

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Na, was passiert denn, wenn wir eine Zahl mit 2 multiplizieren? Denk mal nicht so kompliziert. Augenzwinkern

26.01.2011, 23:47

monet

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ach ja,... Klar $\begin{eqnarray*} 2*2^n = 4^n = 2^n + 2^n \end{eqnarray*}$

Manchmal sind Gesetze echt Hammer

Danke Dir, jetzt hat es klick gemacht...

Gruß monet

26.01.2011, 23:48

Iorek

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Also das $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ hat da nichts zu suchen!

26.01.2011, 23:54

monet

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Das war nur zur Demonstration bzw. ein Zwischenschritt. Klar, in der Rechnung taucht das dann nicht mehr auf. smile

Danke

gruß monet

26.01.2011, 23:55

Iorek

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Nein, damit meinte ich, dass $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n \neq 4^n \end{eqnarray*}$ ist, das $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ ist falsch.

27.01.2011, 00:01

monet

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ach, ich bin wohl zu müde Schläfer

was ,meinst du dann??

27.01.2011, 00:05

Iorek

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Ich meine, dass das $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ falsch ist und da nicht hingehört, es ist einfach $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n=2^n+2^n \end{eqnarray*}$ , ohne irgendwas in der Mitte.

27.01.2011, 00:09

monet

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Dann sag mir doch bitte, woher das zweite $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ herkommt,
in $\begin{eqnarray*} 2^n+2^n \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 00:14

Iorek

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Was ist 2*3, was ist 2*4, was ist 2*5? Du hast zweimal die 3 oder die 4 oder die 5, also 3+3 oder 4+4 oder 5+5. Was ist dann jetzt $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2011, 00:29

monet

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Irgendwie drehe ich mich hier im Kreis. Danke für deine Anwtorten aber
ich werde bis morgen bzw. heute warten um nochmal zu fragen. Es wäre einfacher,
wenn du mir diese beiden Schritte gezeigt hättest. Hier geht es nicht
um das Lösen, sondern um das Verständnis. Wenn jemand nicht in der Materie
so vertieft ist, kann man nicht einfach davon schliessen, dass Andeutungen
verstanden werden. Mir geht es nur darum zu wissen, wie man
von, wie zuvor schon 2x gefragt, $\begin{eqnarray*} 2*2^n auf = 2^n+2^n \end{eqnarray*}$
kommt und mehr nicht. Lösungen, wie in meinem zweiten Beitrag liegen
schon vor.

Gruß monet

27.01.2011, 00:35

Iorek

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Du postest im Hochschulbereich, da wird man doch eine Rechnung aus der dritten Klasse erwarten können, oder? geschockt

Du multiplizierst mit 2, du verdoppelst, du hast zweimal so viel...such dir eine Formulierung aus, aber das ist die Multiplikation mit 2 aus dem dritten Schuljahr.

3+3=2*3, 4+4=2*4, 5+5=2*5..., du hast hier eben $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ stehen.

27.01.2011, 00:38

monet

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Danke, ist echt ein nettes Forum hier! Naja... es gibt sicherlich andere, die nicht
so herablassend sein werden.

Danke!

27.01.2011, 00:42

Airblader

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@ monet

Ein Apfel und ein Apfel macht halt nunmal zwei Äpfel. Wenn du das nach so vielen Postings nicht verstehst, dann würde ich mir an deiner Stelle mal mehr Gedanken darum machen, wie du die von Iorek erwähnte dritte Klasse bestanden hast, statt auf Iorek loszugehen, der dir hier über eine solche Dauer geholfen hat und ihn als herablassend zu bezeichnen.

Aber ja, such dir ein anderes Forum. Vielleicht malt man dir da ja mit Wachsmalstiften zwei Äpfel hin, einen in rot und einen in blau.

air

27.01.2011, 00:46

Iorek

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Das hat in meinen Augen nichts mit herablassend zu tun; wenn du dich im Hochschulbereich mit einer Vollständigen Induktion beschäftigst, solltest du durchaus in der Lage sein, diese einfache Umformung nachvollziehen zu können, gerade mit den Zahlenbeispielen die ich dir mehrfach angegeben habe. Wenn dem nicht so ist, würde ich mir an deiner Stelle Gedanken über dein Studienfach machen.

27.01.2011, 00:56

monet

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Zitat:

@Iorek
Wenn dem nicht so ist, würde ich mir an deiner Stelle Gedanken über dein Studienfach machen.

Ich habe nicht mal Abitur. Bin nur Mechaniker. Also erarbeite ich
mir alles selbst.

Vielleicht habe ich deine Hilfe und Andeutungen auch missverstanden... Ist auch schon
spät. Wenn ich mir das morgen anschaue, kann das für banal sein.

Zitat:

@Airblander
dann würde ich mir an deiner Stelle mal mehr Gedanken darum machen, wie du die von Iorek erwähnte dritte Klasse bestanden hast

Das zeigt mir deutlich deinen Charakter... Aber zu Glück bin ich nicht jemand, der
das für ernst nimmt. Im Netz gibt es viele "Helden" wie dich Airbla(en)der.

Zitat:

@Airblader
Aber ja, such dir ein anderes Forum

Das war nicht meine Intention.
Ich sagte, dass es vllt. jemanden gibt... Ach was soll´s du hast recht. Wenn solche
Sätze hier Normalität sind... dann bitte meinen Account entfernen.

27.01.2011, 01:03

Airblader

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Zitat:

Original von monet
[QUOTE]Vielleicht habe ich deine Hilfe und Andeutungen auch missverstanden... Ist auch schon
spät. Wenn ich mir das morgen anschaue, kann das für banal sein.

Wollen wirs hoffen. Das ist aber nicht der Punkt. Der Punkt ist, dass du aufgrund deines eigenen Unvermögens andere hier nicht beleidigen musst.

Zitat:

Airbla(en)der.

Danke, diese Version habe ich bisher auch noch nie gehört. Immer wieder schön, was man so alles machen kann. Tanzen

Zitat:

dann bitte meinen Account entfernen.

Sollte das dein Wunsch sein, dann melde dich im entspr. "Account löschen"-Thread.

Aber vielleicht schläfst du dich auch erstmal aus und liest dir das morgen nochmal durch. Und wenn dir dein Fehler dann klar wurde, dann musst du nur noch Eins und Eins zusammenzählen ... Big Laugh

air

27.01.2011, 01:11

Iorek

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Dass du dir das selber erarbeitest ist schön, aber für das "Problem" nicht relevant; auch als Mechaniker wirst du ja schon des öfteren mit 2 multipliziert haben. Du hast 2 Anschlüsse, also brauchst du 2=2*1=1+1 Kabel. Wenn du Brötchen für 2€ kaufst, dann kannst du das mit 2*1=1+1 € Münzen bezahlen. Wenn du...

Genau so verhält es sich mit $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n=2^n+2^n \end{eqnarray*}$ , und so Leid es mir tut, das ist nunmal die Multiplikation mit 2 aus der dritten Klasse.

Gerade in der Mathematik sollte man sich intensiv mit dem Stoff befassen und sich auch die Zeit nehmen, Ansätze und Lösungsvorschläge gründlich zu überdenken. Ein Lehrbuch zur Mathematik liest man nicht einfach durch, man arbeitet damit, schreibt sich eigene Überlegungen zu den aufgeführten Beweisen auf, probiert selber etwas rum, das solltest du dir auch angewöhnen.

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