Komplexe Reihen und Folgen

25.11.2006, 20:20

Sly

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Komplexe Reihen und Folgen

Hallo!
Ich hänge etwas an zwei Aufgaben über komplexe Folgen und Reihen.

Die erste Aufgabe: Ich soll untersuchen, für welche $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}~\frac{z^n}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Nunja, für $\begin{eqnarray*} |z| < 1 \end{eqnarray*}$ ist es klar, dass die Reihe konvergiert, damit gibts keine Probleme. Für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ ist es klar dass die Reihe divergiert, weil die Beträge der Summanden eben keine Nullfolge bilden. Wie kann ich das elegant beweisen? Mir fällt lediglich ein, dass man lang und breit und umständlich beweist, dass jede folge $\begin{eqnarray*} \left(1+x)^n\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^{>0} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab einem geweissen Punkt überholt...

Ja, und dann noch der letzte Fall, bei dem ich nicht so recht weiß, wie ich vorgehen soll, nämlich $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ . Für 1 divergiert die Reihe, für -1 konvergiert sie, also gibts kein pauschales "Ja" oder "Nein". Wie soll ich hier rangehen?
Ich hab schon versucht, $\begin{eqnarray*} z = a+i\cdot b \end{eqnarray*}$ zu setzen mit $\begin{eqnarray*} |a| < 1, \sqrt{a^2+b^2} = 1 \end{eqnarray*}$ , weil ich VERMUTE, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z \neq 1, |z| = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert...Sicher bin ich mir aber nicht, und durch Einsetzen in die Reihe bin ich auch nicht gerade weit gekommen...

Dann die zweite Aufgabe: (wohlgemerkt, hier ist weniger das Komplexe das Problem)
Ich soll beweisen: Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine komplexe Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n = a \; \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (a_1 + \dots + a_N) = a \end{eqnarray*}$

Also als Tip habe ich da stehen:
"Für $\begin{eqnarray*} N > N_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N a_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_0} a_i + \frac{1}{N} \sum_{i=N_0+1}^N a_i \end{eqnarray*}$
Ehrlich gesagt finde ich hier überhaupt GARKEINEN Ansatz. Alle Konvergenzkriterien durchgegangen, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...Und mit dem Tip kann ich gar nichts anfangen...

Ich bedanke mich für jede Hilfe im Voraus.
Schöne Grüße
Sly

25.11.2006, 20:25

Orakel

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Die zweite Aufgabe haben wir u.a. in dem Thread "Grenzwert bestimmen" schon gelöst!

Zu 1.: Dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert ist klar, da der Konvergenzradius dieser Reihe eben gleich 1 ist!

25.11.2006, 20:53

Orakel

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Hab mir mal noch ein paar Gedanken zu der (möglichen) Konvergenz der Reihe auf dem Rand des Konvergenzkreises gemacht! Du hast mit deiner Vermutung Recht, die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} |z|\le 1 \end{eqnarray*}$ außer eben für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ .

Um die Konvergenz nachzuweisen, kannst du von vornherein mal $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ annehmen. Jetzt musst bzw. kannst du über das Cauchy-Kriterium argumentieren. Schätze mal die Partialsumme $\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k},\ m>n,\ |z|\le 1,\ z\neq 1 \end{eqnarray*}$ geeignet ab, indem du ausmultiplizierst. Dann wirst du sehen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\le 1,\ z\neq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und damit auch die ursprüngliche Reihe!

26.11.2006, 00:10

Sly

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RE: Komplexe Reihen und Folgen

Zitat:

Original von Orakel
Die zweite Aufgabe haben wir u.a. in dem Thread "Grenzwert bestimmen" schon gelöst!

Zu 1.: Dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert ist klar, da der Konvergenzradius dieser Reihe eben gleich 1 ist!

Naja, das wäre ja schon klar, WENN wir Konvergenzradien gehabt hätten..Haben wir aber nicht, dabei ist schon das gesamte Kapitel zu Reihen abgeschlossen...(Frag mich nicht warum)

Zum Cauchy-Kriterium:
Was meinst du genau mit abschätzen? Den Betrag? Das habe ich gerade irgendwie versucht, führt zu nix wirklich tollem (bei mir).
Was soll ich denn da ausmultiplizieren? verwirrt

verwirrt

Verflucht, gegen Mitte des Semesters scheint Analsysis ja doch schwerer zu werden als ich dachte...

26.11.2006, 13:05

Orakel

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Also ihr habt doch in der Vorlesung sicher das Wurzelkriterium gehabt, welches besagt, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}|a_k|^{1/k}<1 \end{eqnarray*}$ und divergiert, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}|a_k|^{1/k}>1 \end{eqnarray*}$ . Bei deiner Reihe ist jetzt $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also konvergiert deine Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ absolut und für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie, denn $\begin{eqnarray*} k^{1/k}\to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Bezüglich des Verhaltens der Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ sollst du den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k},\ z\neq 1, \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren und abschätzen! Probier es erst noch einmal, so schwierig ist es nicht. Du musst dabei die Monotonie der Funktion $\begin{eqnarray*} k\mapsto \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ausnutzen!

26.11.2006, 15:30

Sly

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Nein, das Wurzelkriterium hatten wir auch nicht.

Nochmal zum Abschätzen: WAS?! Den Betrag abschätzen? "Abschätzen" verwirrt mich etwas, wenn wir von einem komplexen Term reden!

Naja, jedenfalls habe ich jetz mal versucht...wieder. Und bin durch diverse Umformungen erneut zu nix tollem gekommen.

$\begin{eqnarray*} (1-z) \sum_{k=n}^m \frac{z^k}{k} = ... = \frac{z^n}{n}-\frac{z^{m+1}}{m} - \sum_{k=n+1}^m \frac{z^k}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

Nur wieder weiß ich nicht, wo ich hier was abschätzen soll.

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26.11.2006, 17:00

Orakel

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Habt ihr denn das Quotientenkriterium für die Konvergenz von Reihen gehabt?

ZurAbschätzung:

Sei $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k}=\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k}-\sum_{k=n}^m\frac{z^{k+1}}{k}=\frac{z^n}{n}+\sum_{k=n+1}^m\frac{z^k}{k}-\sum_{k=n}^{m-1}\frac{z^{k+1}}{k}-\frac{z^{m+1}}{m}=\frac{z^n}{n}+\sum_{k=n+1}^m\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)z^k-\frac{z^{m+1}}{m} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} |z|\le 1 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} 1/k<1/(k-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\ge 2 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du also die Partialsumme betragsmäßig abschätzen durch

$\begin{eqnarray*} \left|(1-z)\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k}\right|\le\frac{1}{n}+\sum_{k=n+1}^m\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{m}=\frac{2}{n}\to 0, \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Dann das Cauchy-Kriterium und fertig. Wegen $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert dann auch deine Original-Reihe! Freude

Freude

26.11.2006, 18:15

Sly

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Achsooooo...Tja, man muss halt wissen, wo man umformt, und wo nicht. (Ich hab halt direkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} = \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$ gesetzt.)

Hmkaaaay...Vielen Dank. Aber echt, ich fand das ziemlich schwer, so ohne das Vorwissen. Egal. Ich verstehs jetzt und kann es sauber aufschreiben.

Achja: Das Quotientenkriterium hatten wir schon.
Wenn ich noch Probleme hab, meld ich mich...Bis dann

27.11.2006, 18:09

DerHolzi

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Habe jetzt die gleiche aufgabe. Auch mit der aufgabe 2. Die finde ich aber nirgendswo. Auch nicht mit der suche nach "Grenzwert bestimmen".

Außerdem fände ich es hilfreich, wenn mit einer zu der Lösung ,mit dem Quitientenkriterium sagen könnte, warum (1-z) davor steht und wie man die ersten 3 Umformungen macht.

Danke schon mal

DerHolzi

27.11.2006, 18:27

AD

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RE: Komplexe Reihen und Folgen

Zitat:

Original von Sly
weil ich VERMUTE, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z \neq 1, |z| = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert...

Ja, ist richtig. Zum Beweis ist das Dirichlet-Kriterium

http://de.wikipedia.org/wiki/Kriterium_von_Dirichlet

ganz nützlich. Es ist auf dieser Seite zwar nur von reellen Folgen die Rede, aber es gilt auch im Komplexen.

27.11.2006, 20:01

Sly

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RE: Komplexe Reihen und Folgen

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Sly
weil ich VERMUTE, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z \neq 1, |z| = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert...

Ja, ist richtig. Zum Beweis ist das Dirichlet-Kriterium

http://de.wikipedia.org/wiki/Kriterium_von_Dirichlet

ganz nützlich. Es ist auf dieser Seite zwar nur von reellen Folgen die Rede, aber es gilt auch im Komplexen.

Ja ok, aber dann muss ich ja wieder beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty z^k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, was ich bei $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ein bisschen schwer finde.

27.11.2006, 21:29

Orakel

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Zu der zweiten Aufgabe findet ihr etwas unter dem thread "Konvergenz Mittelwert". Die Frage kam schon öfters!!!

Zu der Konvergenz der Reihe folgendes: Zum Fall $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ möchte ich eigtl nichts mehr sagen, denn es steht ja schon alles da und es ist auch nachvollziehbar, wie ich denke.

Nun zum Quotientenkriterium: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1 \end{eqnarray*}$ . Sie divergiert jedoch, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1 \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{k}{k+1}|z| \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}=1 \end{eqnarray*}$ erhält man die absolute Konvergenz der Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ und die Divergenz für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ .

smile

smile

smile

28.11.2006, 17:08

DerHolzi

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Hallo nochmal.

Die Lösung ist so schon sehr gut, nur erhält man bei der Divergenz nicht die Lösung |z| >= 1??

Das würde nämlich probleme aufwerfen, weil der betrag von |z| ja auch die -1 beinhalten würde und bei der knvergiert die reihe ja nach Leibnitz oder nicht??

Wie kann ich das schreiben um das Problem zu umgehen?

28.11.2006, 17:14

AD

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Zitat:

Original von Sly
Ja ok, aber dann muss ich ja wieder beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty z^k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, was ich bei $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ ein bisschen schwer finde.

Nein, das steht in der Wikipedia leider etwas missverständlich - die englische Seite ist da präziser:

Es geht nicht um Konvergenz dieser Reihe, die ist nämlich für $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ gar nicht konvergent! Sondern um die Beschränktheit der Partialsummenwerte

$\begin{eqnarray*} s_N = \sum_{k=1}^N z^k \end{eqnarray*}$ .

D.h., für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=1,z\neq 1 \end{eqnarray*}$ findet man ein (von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängiges) $\begin{eqnarray*} M>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |s_N| < M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Und so ein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ findet man hier tatsächlich!

28.11.2006, 17:51

Sly

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Es geht nicht um Konvergenz dieser Reihe, die ist nämlich für $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ gar nicht konvergent! Sondern um die Beschränktheit der Partialsummenwerte

$\begin{eqnarray*} s_N = \sum_{k=1}^N z^k \end{eqnarray*}$ .

Ich hab doch nix anderes geschrieben?

28.11.2006, 17:58

AD

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Dann entschuldige, dann habe ich dich anders verstanden. Der Nachweis der Beschränktheit ist hier aber wirklich simpel:

$\begin{eqnarray*} \left| \sum\limits_{k=0}^N ~ z^k \right| = \left| \frac{1-z^{N+1}}{1-z} \right| = \frac{|1-z^{N+1}|}{|1-z|} \leq \frac{|1|+|z^{N+1}|}{|1-z|} = \frac{2}{|1-z|} =: M \end{eqnarray*}$ .

28.11.2006, 19:05

Sly

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AJ

Hammer

Jaja, Dreiecksungleichung is schon was schönes, vor Allem, wenn man nicht zu dumm ist, um sie anzuwenden!

29.11.2006, 09:19

DerHolzi

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Ich hätte da nochmal nen problem bei der zweiten Aufgabe!

Und zwar ist die Frage ob auch die Umkehrung dieser aussage gilt.

??

Kein plan.

29.11.2006, 09:37

AD

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Nein, sie gilt nicht. Dazu genügt dann selbstverständlich die Angabe eines passenden Gegenbeispiels.

29.11.2006, 10:12

DerHolzi

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Das ist mir klar, aber welches beispiel??

29.11.2006, 11:23

AD

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Na z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ .

29.11.2006, 11:51

DerHolzi

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Wie kann ich das denn am geschicktesten zeigen??

Bei $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$

hätte ich ja dann: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{N} = \sum_{n=1}^\infty {(-1)^n} \cdot \frac {1} {N} \end{eqnarray*}$

Nach aufgabenstellung ist ja $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ja ein folge Komplexer Zahlen.

Dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder??

Ist denn dann auch $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ??

Ich kann ja im Komplexen nicht das Leibnitzkriterium anwenden, sonst könnte ich ja sagen, dass das arithmetische Mittel konvergiert, aber aber die Reihe nicht.

Wie muss ich da genau vorgehen??

29.11.2006, 11:59

AD

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Moment mal, was rechnest du denn da??? Ich denke, wir reden über

Zitat:

Original von Sly
Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine komplexe Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n = a \; \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (a_1 + \dots + a_N) = a \end{eqnarray*}$

Das hat nichts mit der Reihe zu tun, die du da leichtfertig aufschreibst, sondern es geht hier um Mittelwerte!!!

P.S.: Ich weiß nicht, was du mit deinem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{C},N\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ bezweckst: Beides sind natürliche Zahlen, und damit insbesondere auch komplexe Zahlen.

29.11.2006, 15:47

Buef

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RE: Komplexe Reihen und Folgen

Zitat:

Original von Orakel
Hab mir mal noch ein paar Gedanken zu der (möglichen) Konvergenz der Reihe auf dem Rand des Konvergenzkreises gemacht! Du hast mit deiner Vermutung Recht, die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} |z|\le 1 \end{eqnarray*}$ außer eben für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ .

Um die Konvergenz nachzuweisen, kannst du von vornherein mal $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ annehmen. Jetzt musst bzw. kannst du über das Cauchy-Kriterium argumentieren. Schätze mal die Partialsumme $\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k},\ m>n,\ |z|\le 1,\ z\neq 1 \end{eqnarray*}$ geeignet ab, indem du ausmultiplizierst. Dann wirst du sehen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} (1-z)\sum_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\le 1,\ z\neq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert und damit auch die ursprüngliche Reihe!

warum steht vor der partialsumme ein $\begin{eqnarray*} (1-z) \end{eqnarray*}$

29.11.2006, 16:21

Orakel

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
weil man so die konvergenz der reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^m\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ zeigen kann, falls $\begin{eqnarray*} z\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

29.11.2006, 17:05

SilverBullet

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Gilt eigentlich auch die Umkehrung der Aussage ?

Also ich habe :
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (a_1 + \dots + a_N) = a \end{eqnarray*}$

Kann ich dann auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2006, 17:09

AD

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RE: Komplexe Reihen und Folgen
Guten Morgen! Schläfer

Schläfer

Siehe meine Beiträge heute, 9:37 und 11:23

29.11.2006, 18:08

SilverBullet

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LOL

Gott

ARGH EDIT : KEIN KOMMENTAR smile

smile

29.11.2006, 18:27

SilverBullet

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Zitat:

Nun zum Quotientenkriterium: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1 \end{eqnarray*}$ . Sie divergiert jedoch, falls $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1 \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{z^k}{k} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{k}{k+1}|z| \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}=1 \end{eqnarray*}$ erhält man die absolute Konvergenz der Reihe für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ und die Divergenz für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ .

Demnach ist die Reihe auch divergent für z = 2 wenn ich das richtig verstanden habe...oder ?

Dies würde der Lösung im Königsberger S.76 widersprechen denn da heißt es : Die Reihe divergiert für z = 1 und konvergiert für alle anderen.

29.11.2006, 19:20

AD

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Man sollte Büchern nicht blind vertrauen. Dass diese Reihe - wie überhaupt jede Potenzreihe echt außerhalb ihres Konvergenzkreises - divergiert, sieht man mit verbundenen Augen: Da ist ja sogar die notwendige Bedingung verletzt, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden müssen...

29.11.2006, 21:46

Orakel

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@ SilverBullet

STOP STOP STOP!!! Jetzt muss ich den Königsberger aber mal in Schutz nehmen. Die Aussage, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ divergiert und für alle anderen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ konvergiert, bezieht sich nur auf jene $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ (siehe ein paar Zeilen darüber auf S. 76)!!! Also genau lesen sollte man schon smile

smile

29.11.2006, 23:15

SilverBullet

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Ohh Sorry du hast recht... Finde ich trotzdem extrem besch"eiden" ausgedrückt wenn man schreibt für alle anderen z, obwohl da doch nur noch -1 in Frage kommt.

29.11.2006, 23:17

Orakel

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Nein, schon wieder falsch verstanden. Es ist ja $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also kommen weit mehr z in Frage, als $\begin{eqnarray*} z=-1 \end{eqnarray*}$ .

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