Partielle Integration

27.01.2011, 16:32

rwerle

Partielle Integration

Hallo, ich komme hier nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \int \!x^{2}*e^{3x} dx \end{eqnarray*}$

Egal wie ich f(x) oder g(x) wähle.. hat Jemand einen Tipp was ich wie wählen sollte?

27.01.2011, 16:35

Cel

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Hier hilft dir die partielle Integration weiter, richtig. Allerdings musst du sie zwei mal anwenden. Siehst du dann, wie du was wählen musst?

27.01.2011, 16:49

rwerle

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Ja sehe ich... x^2 = f und e^3x = g'

bem 2. integrieren kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 2x * \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{27}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Kann das sein?
Das müsste ich ja oben für das Integral einsetzen.. wie mache ich das? Bzw. kann es ja so nicht auflösen

27.01.2011, 17:04

Cel

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Mal lieber langsam: f = x² und g' = e^(3x) ist in Ordnung. Wie sieht das Integral nach dem ersten partiellen Integrieren aus?

$\begin{eqnarray*} \int \underbrace{x^2}_{=: f} \cdot \underbrace{e^{3x}}_{=: g'} ~\dd x = \dots \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 17:20

rwerle

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genau da bekomme ich folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} x^{2} * \frac{1}{3}e^{3x} - \int \!2x * \frac{1}{3}e^{3x} \end{eqnarray*}$
ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} x^{2} * \frac{1}{3}e^{3x} - \!x^{2} * \frac{1}{6}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Und das muss ich wieder partiell integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \!2x * \frac{1}{3}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

27.01.2011, 17:44

Cel

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Nicht ganz.

Zitat:

Original von rwerle
genau da bekomme ich folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} x^{2} * \frac{1}{3}e^{3x} - \int \!2x * \frac{1}{3}e^{3x} \end{eqnarray*}$
ergibt dann:
$\begin{eqnarray*} x^{2} * \frac{1}{3}e^{3x} - \!x^{2} * \frac{1}{6}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Die obere Zeile stimmt nocht, hinten im Integral steht aber wieder ein Produkt! Da darfst du nicht einfach die zwei Terme einzeln integrieren und ein Mal dazwischen schreiben. Du musst nun genau diesen Term partiell integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int 2x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} ~\dd x= \frac{2}{3} \int x \cdot e^{3x} ~\dd x \end{eqnarray*}$

Vergiss also deinen zweiten Schritt oben. Wenn du jetzt das verbleibende Integral partiell integrierst, dann wirst du nur sofort lösbare Integrale erhalten. Das setzt du dann dort für das Integral ein - und Klammern nicht vergessen, wegen des Minus.

27.01.2011, 19:02

rwerle

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Achso ok.. das vor das Integral ziehen habe ich vergessen.

Bekomme dies heraus:

$\begin{eqnarray*} x * \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{2}{27}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? Und wie fasse ich es zusammen?

27.01.2011, 19:44

Cel

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Zitat:

Original von rwerle
$\begin{eqnarray*} x * \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{2}{27}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? Und wie fasse ich es zusammen?

Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} \int 2x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} ~\dd x= \frac{2}{3} \int x \cdot e^{3x} ~\dd x \end{eqnarray*}$

Soll das die Lösung für mein erwähntes Integral sein? Das ist falsch, konkret stimmt die 1/3 vorne nicht. Sonst ist alles ok.

27.01.2011, 19:56

rwerle

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weshalb stimmt 1/3 nicht? ist doch die Stammfunktion von g'

Ah, es müssten 2/3 sein, oder? (wegen dem 2/3 vorm Integral)

27.01.2011, 19:59

Cel

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Du kannst ja mal ableiten, es wird nicht das richtige herauskommen. Mir scheint, du hast die 2/3 vergessen, mit der dein 1/3 noch mal malgenommen werden muss. Hinten, bei der 2/27 stimmt es aber.

Edit: Nein, nicht 2/3, sondern 2/3*1/3 = 2/9. Guck noch mal scharf hin, dann stimmt es aber.

27.01.2011, 20:14

rwerle

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Ja stimmt.. 2/9.. dann hab ich allerdings nen ewig langen Ausdruck da stehen.. wirklich kürzen kann ich da auch nix mehr :-(

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} e^{3x} \left(\frac{2}{9}x{2} - \frac{1}{3}x - \frac{2}{27} \right) \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 23:26

Cel

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Nein, das ist falsch. Deine Zwischenergebnisse stimmen alle, du musst nur richtig einsetzen.

28.01.2011, 14:44

rwerle

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Wo liegt der Fehler? + 2/27 ?

28.01.2011, 14:51

Equester

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Da Cel off ist smile

:

Zeig doch mal den zweiten Teil deiner partiellen Integration.
Du hast iwie die beiden Koeffizienten der ersten beiden Summanden vertauscht, wie
auch das Vorzeichen des letzten Summanden (dass du jetzt richtig berichtigt hast Augenzwinkern

)

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