Gauss-Integration (Verständnisfrage)

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DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss-Integration (Verständnisfrage)
Das ist jetzt keine Aufgabe von irgendeinem Blatt, sondern ich versuche grad etwas nachzuvollziehen was ich gelesen habe.

Gegeben:



Jetzt steht in dem Buch, dass es mittels der Gauß-Integration approximiert wird,.. danach steht eben für welche Grad n= 1,..5

jedenfalls steht dann hinter n=2 das Ergebnis wäre 3.14.... was ja schon gut ist. Aber ich weiß nicht wie man da für n=2 hin kommt ?

denn wenn ich das Integral betrachte und für n=2 die mit gewichtsfunktion w(x)=1 die Quadraturformel errechne komme ich ja auf



hier nimmt man dann eben nur einen summand weil man ja nur von 0 bis 1 integriert und da kommt 3 raus?

ich verstehe nicht ganz wie man über das Gauss Integrall gleich auf so eine genauigkeit kommt? Dort ist nicht mehr erklärt als das was ich gerade geschrieben habe.

Hoffe mir kann jemand ein bissle licht ins dunkel bei dem gauss integrall geben? W

Gruß und danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss-Integration (Verständnisfrage)
Fehlt da nicht ein Knoten?

DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort,..

jedoch ist im Buch die Summe von



definiert !?

und im buch gab es ein beispiel für n=2 und da stand dann:



in dem buch steht auch das gauss es bis 2n-1 grad exakt schafft,.. in der vorlesung hatten wir auch gelernt das es 2n+1 ist,...

aber da kommt da wieder zusammen dass diese formel polynome 3ten grad exakt integrieren soll,.. und wenn ich das mache dann suche ich mir orthogonale polynome 2ten grades,... eben mit 2 stützstellen,....

hoffe ich war nicht zu verwirrend?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Literatur weicht da ab. Nicht tragisch, man muss nur wissen, was gilt. Welches Buch ist das denn?

Die Formeln sind aber doch für das Intervall [-1,1] Das gesuchte Integral ist von [0,1]. Du musst ja noch Koordinatentransformation machen. Und die Funktionswerte müssen noch ein Gewicht bekommen. Die Gewichtsfunktion ist wieder was anderes. Weil die Konstant 1 ist, heißt das ja nur, dass man als Knoten die Nullstellen des entsprechenden Legendrepolynoms nehmen soll.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Buch ist:

Numerische Mathematik (7. Auflage)
Hans Rudlof Schwarz | Norbet Köckler


bisher war ich mit dem buch auch zurfrieden smile nur da ist mir des grad unklar,..

ja genau, die Gauss-Integration ist ja nur für das intervall [-1,1] definiert,... ich habe irgendwie gedacht, dass wenn mein integral sowieso schon von 0 bis 1 geht, dass ich dann einfach nicht alle stützstellen nehmen muss,..?

in dem buch steht sogar schon die allgemeine transformierung



bei mir wäre dass dann ja:


okay und damit vielen dank smile
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

das hatte ich nicht hingeschrieben, dass dort die gewichtsfunktion = 1 ist,...

bei einer anderen gewichts funktion würde sich natürlich die quadraturformel verändern,.. aber ich habe das mit dem transformieren total vercheckt smile
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss-Integration (Verständnisfrage)
Zitat:
Original von DerJFK
Das ist jetzt keine Aufgabe von irgendeinem Blatt, sondern ich versuche grad etwas nachzuvollziehen was ich gelesen habe.

Gegeben:



Jetzt steht in dem Buch, dass es mittels der Gauß-Integration approximiert wird,.. danach steht eben für welche Grad n= 1,..5

jedenfalls steht dann hinter n=2 das Ergebnis wäre 3.14.... was ja schon gut ist. Aber ich weiß nicht wie man da für n=2 hin kommt ?

denn wenn ich das Integral betrachte und für n=2 die mit gewichtsfunktion w(x)=1 die Quadraturformel errechne komme ich ja auf



hier nimmt man dann eben nur einen summand weil man ja nur von 0 bis 1 integriert und da kommt 3 raus?

ich verstehe nicht ganz wie man über das Gauss Integrall gleich auf so eine genauigkeit kommt? Dort ist nicht mehr erklärt als das was ich gerade geschrieben habe.

Hoffe mir kann jemand ein bissle licht ins dunkel bei dem gauss integrall geben? W

Gruß und danke


Und das ist "falsch". Auch bei [-1,1] musst du die Funktionswerte von Gewichten. Das sind 2 verschiedene Sachen: Gewichtsfunktion und Gewichte. Das ist nur Zufall, dass hier auch die Gewichte 1 sind. Das meinte ich. Augenzwinkern
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also des die gewichte und die gewichtsfunktion nicht indentisch sein müssen wusste ich schon,...

merkt man jedenfalls dann wenn man mal eine quadraturformel berechnet, bzgl. eines anderen gewichts smile

irgendwie habe ich falsche gedacht was das intervall angeht,.. weil ist natürlich klar wir du es sagst,... wenn ich die formel genau für dieses intervall berechne muss ich eben die funktion auch in dieses intervall abbilden (transformieren)

gruß smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur vorbeugen, da man es aus dem Beitrag nicht sehen konnte (hier war das ja deckungsgleich). Schön, dann haben wir das ja enträtselt. Wink
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