beliebige Matrix drehen

28.01.2011, 10:36	EffEff	Auf diesen Beitrag antworten »
beliebige Matrix drehen Meine Frage: Hallo Mathe- Freunde, ich habe da ein Problem mit Matrizen. Ich möchte eine beliebige Matrix um einen definierten Winkel drehen. Der Drehwinkel ist dabei 90°(gegen oder im Uhrzeigersinn) oder 180°. Aus folgender Matrix $\begin{eqnarray} <br /> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ soll beispielsweise diese Matrix entstehen: $\begin{eqnarray} <br /> A' = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Gibt es eine allgemeine Matrix, mit der ich die Matrix A multiplizieren kann oder irgendeine andere Matrixoperation? Schön wäre es, wenn auch nicht- quadratische Matrizen damit behandelt werden könnten (180° Drehung). Für jede Hilfe wäre ich Dankbar. Meine Ideen: Versucht habe ich schon transponieren - geht nicht! Eine inverse Matrix ist auch nicht die Lösung. Durch Multiplikation mit einer anderen Matrix wäre sehr gut. Für die obige Matrix lässt sich folgende Transformationsmatrix berechnen: $\begin{eqnarray} <br /> B = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 2.5 & 0.5\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Leider funktioniert das nur für den speziellen Fall. Sobald andere Werte verwendet werden bzw. sich die Größe der Matrix ändert funktioniert diese Lösung nicht mehr. Was man nutzen kann, ist ein Umsortieralgorithmus - ist jedoch keine eindeutige mathematische Beziehung. Vielleicht funktioniert eine andere allgemeingültige Transformationsmatrix - habe aber keine richtige gefunden. Vielen Dank für eure Hinweise.
28.01.2011, 12:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du unter der Operation "Matrix drehen"? Meinst du etwa folgendes: Gegeben sei eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} y=Ax \end{eqnarray}$ . Wir drehen den Urbildvektor und den BIldvektor gemäß $\begin{eqnarray} x'=Dx \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y'=Dy \end{eqnarray}$ . Umstellen dieser Drehungen und Einsetzen in die Abbildung liefert $\begin{eqnarray} D^{-1}y'=AD^{-1}x' \end{eqnarray}$ . Lässt an darauf D wirken, entsteht die neue Abbildung $\begin{eqnarray} y'=A'x' \end{eqnarray}$ mit der neuen Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} A'=DAD^{-1} \end{eqnarray}$ , welche zwischen dem gedrehten Urbildvektor $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ und dem gedrehten Bildvektor $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ vermittelt. In diesem Sinne könnte man die Matrix A' vielleicht als "gedrehte Matrix" bezeichnen.
28.01.2011, 16:40	EffEff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: beliebige Matrix drehen Die Matrix sollt nur gedreht werden - im Sinne eine Umsortierung. Keine geometrische Drehung, wobei sich die Werte der Matrix ändern. Ich weiß, dass das mathematisch wahrscheinlich nicht ganz korrekt ist. Vielleicht gibt es so einen Zusammenhang garnicht oder ich kann das Problem nicht mit Matrizen rechnen. Das mit der Matrix D sieht super aus . Welche "Werte" sind in dieser D- Matrix enthalten?
28.01.2011, 16:54	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Die MAtrix von Ehos kann eine Drehmatrix sein. Aber die dreht halt im geometrischen Sinne. Eine Möglichkeit wäre diese hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^T \cdot\ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit der rechten Matrix vertauscht du zwei Spalten. Aber verrate uns doch mal wofür man so etwas braucht...
28.01.2011, 16:57	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Matrix im geometrischen Sinne drehen will, also ihr Urbild so hilft die Drehmatrix, multipliziert man eine Matrix mit dieser so erhält man entpsrechende gedrehte Matrix um den Winkel. Dazu siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix
28.01.2011, 17:20	EffEff	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Also existiert doch ein math. Zusammenhang . Mit der Drehmatrix komme ich nicht klar (Drehung um 90°): $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wofür ich das nutzen will: - Aufnahme von 2 Bildern - RGB Werte - einmal solls gedreht Werten - dann will ich Fehler bei den Bildern rausrechnen
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28.01.2011, 17:33	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, die Drehmatrix vertauscht nicht die Werte in einer Matrix, sondern dreht geometrisch. Wenn du mit ner Drehmatrix um 90° drehst erhältst du folgenden Zusammenhang: Sei D die Drehmatrix und wir drehen einen Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , dann gilt folgendes: $\begin{eqnarray} x^\prime = Dx \Rightarrow x^\prime \perp x \end{eqnarray}$

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