LGS: Kern einer Matrix

28.01.2011, 11:15

sd4z

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LGS: Kern einer Matrix

LGS: Kern einer Matrix

Hi

habe folgendes problem:

Ich habe die Matrix A, mit
0 1 2 1
-1 2 5 2
0 0 -2 -1
0 0 2 1

Und soll hieraus nun

a) den Kern bestimmen

b) die Eigenwerte berechnen, also alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R mit det(A - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E)

c)die Eigenvektoren der Matrix mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ i bestimmen

Was ist der Kern, wie berechne ich die Eigenwerte und was sind die Eigenvektoren... generell habe ich mit den Matrizen eher weniger Probleme bis auf kleine unsicherheiten... bin gerade in der Prüfungsvorbereitung und lese diese Art der Fragen das erste mal...

28.01.2011, 11:18

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Fangen wir mal bei a) an, der Kern eine Abbildung ist die Menge der Elemente für die gilt f(x)=0.

Bestimme also den Lösungsraum Ax=0.

28.01.2011, 11:24

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
d.h. ich habe Ax = c ??? und setze c = 0 und löse dann dass LGS auf?

28.01.2011, 11:24

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Wenn du es so ausdrücken möchtest, ja.

28.01.2011, 11:27

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
ja ich wills in mathe nicht immer allzu komplex machen... triviale ausdrucksweise ist mir lieber ^^. Brauch mathe eben fürs Maschinenbaustudium...

dh. ich gehe nach dem Gauß Verfahren vor?!

28.01.2011, 11:32

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Jap, Gauß ist das Mittel der Wahl.

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28.01.2011, 11:37

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
okeeee...

und Eigenwerte und Eigenvektoren?

Ist das auch einfach und nur kompliziert ausgedrückt?

28.01.2011, 11:44

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

$\begin{eqnarray*} det(A-xE)=0 \end{eqnarray*}$ , wobei E die Einheitsmatrix ist.

28.01.2011, 11:49

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
wie geh ich vor?

1) Ich berechne die Determinante der Matrix A
2) Ich berechne die Determinante der Einheitsmatrix, also detE=1

3) detA - detE = 0

Richtig soweit?

oder detA - x detE = 0 und löse nach x auf?

28.01.2011, 11:53

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Nein, du berechnest die Determinante von $\begin{eqnarray*} A-xE \end{eqnarray*}$ , also zuerst multiplizierst du die Einheitsmatrix mit x, dann bildest du die Differenz aus A und xE, dann bestimmst du die Determinante und setzt sie gleich 0.

28.01.2011, 11:57

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
ok...

x mit E multipliziert:

x 0 0
0 x 0
0 0 x

?

und was sind dann die Eigenvektoren?

28.01.2011, 11:58

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Die Eigenvektoren zum Eigenwert x_0 sind die Vektoren, für die gilt: $\begin{eqnarray*} (A-x_0E)\vec{y}=0 \end{eqnarray*}$ , also Eigenwert einsetzen und den Lösungsraum bestimmen.

28.01.2011, 12:02

sd4z

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RE: LGS: Kern einer Matrix
angenommen ich hab den eigenwert x = 5

dann

1) Einheitsmatrix mal 5
2) Differenz A - xE

dann hab ich ja eine Matrix da stehen, bring ich diese auf dreiecksform und löse nach 0 auf?

28.01.2011, 12:07

lgrizu

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RE: LGS: Kern einer Matrix
Okay, hab mich vielleicht ein wenig ungeschickt ausgedrückt, du löst das LGS $\begin{eqnarray*} (A-x_0E) \vec{y}=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist richtig, $\begin{eqnarray*} A-x_0E \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix.

28.01.2011, 12:15

sd4z

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okay... also A hab ich mit Werten gegeben, für x hab ich nen Wert und die Einheitsmatrix ist eh klar.... (A - xE) multipliziere ich mit einer neuen Variablen und löse nach 0 auf....

hab ich so richtig verstanden?

28.01.2011, 12:16

lgrizu

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Was meinst du mit "ich löse nach 0 auf"?

Du setzt das gleich dem Nullvektor und bestimmst den Lösungsraum, wenn du das meinst, dann ist das richtig.

Wollen wir anfangen, das explizit mal für deine Matrix durchzurechnen?

28.01.2011, 13:55

dynamicman

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hi

ich wär aufjedenfall für ein beispiel für alle 3 sachen, also kern, wert u vektor

28.01.2011, 14:00

lgrizu

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Na, dann lass uns doch gleich mal mit der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 & 1& 2& 1\\-1& 2& 5& 2\\0& 0& -2 &-1\\0& 0 &2 &1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ beginnen, rechnen wir zuerst einmal den Kern aus, also Lösen das LGS Ax=0.

Wie weit kommst du?

28.01.2011, 14:17

sd4z

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Meine Lösung für die Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 14:23

dynamicman

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & x_2 & +2x_3 & x_4 \\ -x_1 & +2x_2 & +5x_3 & +2x_4 \\ & & -2x_3 & -x_4 \\ && 2x_3 & +x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und jede zeile =0 gesetzt und dann angefangen mit gauss umzuformen und bin darauf gekommen dass

$\begin{eqnarray*} x_{1}= x_{2}= x_{3}= x_{4} = 0 \end{eqnarray*}$ ist....

wobei dann $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ element R ist

wenn man 3.zeile + 4.zeile rechnet hat man doch direkt x1,x2,x3,x4 = 0 oder?

28.01.2011, 14:27

sd4z

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ich hab für:

X4 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X3 = -1/2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X2 = 1/2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X1 = 1/2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 14:35

lgrizu

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@dynamicman:

Hab ich dich gefragt?

Dazu ist dein Ergebnis falsch.

@sd4z:
Das Ergebnis ist leider auch nicht ganz richtig, x_4 und x_3 stimmen, aber x_2 und x_1 nicht, die Matrix in Zeilenstufenform ist allerdings richtig.

28.01.2011, 14:36

sd4z

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ich nehme an rechenfehler???

28.01.2011, 14:38

dynamicman

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eerm... entschuldigung.. wusste nicht das ich mich hier nicht dran beteiigen darf..

habe auch probleme genau damit, und dachte ich gebe auch mal lösungsvorschläge ab und vllt kann man mir weiterhelfen..

28.01.2011, 14:39

sd4z

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lernst wohl auch für IM1 Big Laugh

Big Laugh

28.01.2011, 14:42

dynamicman

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IM1 ?

smile

ne LA1 bin im ersten semester und studiere informatik.. Hammer

Hammer

28.01.2011, 14:44

sd4z

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X2 = 1/4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X1 = -1/4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

@dy : HA HA Tanzen

Tanzen

Tanzen

28.01.2011, 14:46

lgrizu

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Okay, es ist wirklich schwer, auf zwei Personen einzugehen.

@sd4z:

Ich denke auch, dass es sich um Rechenfehler handelt.

@dynamicman:

Du darfst dich sicher beteiligen, entweder als Helfer oder als Fragender, aber bitte keine Komplettlösungen, ich weiß nur nicht, wie ich das dann koordinieren soll.

Also, wie lautet der Kern der Abbildung, was hast du gemacht?

ZSF ist richtig, x_4 ist parametrisiert, x_3 ist auch richtig, wie schauen nun x_1 und x_2 aus?

Zitat:

Original von sd4z
X2 = 1/4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X1 = -1/4 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

@dy : HA HA Tanzen

Tanzen

Tanzen

Kein Grund zum Tanzen, schon wieder falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gleichung 2 gibt uns:

$\begin{eqnarray*} x_2+2x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$ Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_4=\lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=-\frac{1}{2} \lambda \end{eqnarray*}$ führt zu

$\begin{eqnarray*} x_2=-2x_3-x_4=(-2) \cdot \frac{-1}{2} \lambda - \lambda =0 \end{eqnarray*}$ .

Nun noch x_1 ausrechnen.

28.01.2011, 14:50

sd4z

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ok... rechenfehler... Hammer

Hammer

aber vom prinzip her passt mein weg oder?

28.01.2011, 14:51

lgrizu

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Siehe den letzten Post, hab noch mal editiert.

28.01.2011, 14:54

dynamicman

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dann mal ne frage,

wenn ich die matrix auf ZSF bringe, was ist dann der nächste schritt??

darf ich nicht 3.zeile - 4.zeile machen?

28.01.2011, 14:56

sd4z

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hab meinen fehler gefunden... habe zu beginn der matrixumformung 1. und 2. zeile vertauscht... aber nur die x1 werte getauscht.... den rest hab ich vergessen zu vertauschen... ok... komme nun auch auf deine ergebnisse...

28.01.2011, 14:59

lgrizu

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Okay, dann mal alles hier hin geschrieben, damit wir den Kern bestimmen können.

@dynamicman

Ich habe doch schon geschrieben, dass es schwer ist, auf beide zu antworten, ich mache das mit sd4z jetzt fertig, du kannst gerne dabei zusehen und am Ende die Fragen stellen, es ist schwer, auf zwei Personen gleichzeitig einzugehen und zieht den Thread nur unnötig in die Länge.

28.01.2011, 15:04

sd4z

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Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

X4 = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X3 = - 1/2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
X2 = 0
X1 = 1/2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 15:04

dynamicman

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ok...

da er ja nun auch auf deine ergebnisse kommt, denke ich ist er fertig smile

smile

falls nicht warte ich auch noch gerne...

28.01.2011, 15:07

lgrizu

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Das Vorzeichen von x_1 stimmt nicht, wir haben:

$\begin{eqnarray*} -x_1=-2x_2-5x_3-2x_4 \Rightarrow x_1=5 \cdot \frac{-1}{2} \lambda + 2 \lambda=-\frac{1}{2} \lambda \end{eqnarray*}$ , etwas Konzentration bitte.

Nun weiter, Eigenwerte berechnet?

@dynamicman:

Du kannst alternativ auch einen eigenen Thread eröffnen.

28.01.2011, 15:15

sd4z

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nehme ich die bereits umgeformte (auf Dreiecksform gebrachte) Matrix A oder die ursprüngliche?

28.01.2011, 15:18

lgrizu

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Nimm mal die ursprüngliche Matrix.

28.01.2011, 15:21

sd4z

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dann habe ich allerdings keine dreiecks form sondern folgende:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2\lambda & 1 &2&1 \\ -1&2&5&2 \\ 0&0&-2+1/2\lambda & -1 \\ 0&0&2&1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie ist das nun mit der determinante... mach ich das jetzt mit Sarrus... entwicklung nach der 1. Zeile???

Oder tausche ich zu beginn gleich die 1. und die 2. Zeile von der ursprungsmatrix?

28.01.2011, 15:24

lgrizu

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Was hast du denn nun gemacht? verwirrt

verwirrt

Du sollst die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} det(A-xE)=0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

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