Injektion definieren

28.01.2011, 14:04

Wombat91

Injektion definieren

Ich soll eine Injektion $\begin{eqnarray*} g: ^{\omega}\{0,1,2\} \hookrightarrow P(\omega) \end{eqnarray*}$ definieren, wobei $\begin{eqnarray*} ^{\omega}\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Funktionen von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
$\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ bezeichnet hier die Menge der natürlichen Zahlen nach Neumann.

Soweit so gut: In den Lösungen steht: $\begin{eqnarray*} f \mapsto \{f(n)\cdot 3^n: n\in \omega\} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich zeigen, dass das eine Injektion ist?
Bei den trivialen Funktionen wie: $\begin{eqnarray*} f(n)=0 \end{eqnarray*}$ ist mir intuitiv klar, dass bloss diese eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden kann. Wie sieht es aber bei komplexeren Funktionen aus?
Wieso kann es nicht sein, dass zwei oder noch mehr Funktionen auf dieselbe Potenzmenge abgebildet werden? Hängt das mit der Multiplikation der Dreierpotenz zusammen?

Wäre froh um eure Hilfe. Vielen Dank!

30.01.2011, 06:40

Roman Oira-Oira

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RE: Injektion definieren

Zitat:

Original von Wombat91
Soweit so gut: In den Lösungen steht: $\begin{eqnarray*} f \mapsto \{f(n)\cdot 3^n: n\in \omega\} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich zeigen, dass das eine Injektion ist?

Ich vermute, Du wirfst hier einige Dinge völlig durcheinander.

Was soll den z.B. die oben angegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein, die in irgendwelchen Lösungen steht?

Du sollst, so wie ich die Aufgabentellung verstehe, nicht zeigen, daß diese Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist doch höchstens ein Beispiel für eine der Funktionen $\begin{eqnarray*} f \in \, ^{\omega}\!\{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ . Die Definitionsmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , also die Menge der natürlichen Zahlen und nicht $\begin{eqnarray*} P(\omega) \end{eqnarray*}$ (wie Du unten schreibst)!

Nach Deiner Beschreibung müßte also die folgende Definition gelten: $\begin{eqnarray*} ^{\omega}\!\{0, 1, 2\} = \{ f | f: \omega \mapsto \{0, 1, 2\} \} \end{eqnarray*}$ .

Du hingegen sollst eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstruieren, die auf der Menge $\begin{eqnarray*} ^{\omega}\!\{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Und diese Menge enthält Funktionen, z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wobei die Menge $\begin{eqnarray*} \{0, 1, 2\} \end{eqnarray*}$ die Wertemenge sein soll, nicht die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} P(\omega) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , wie Du unten in Deinem Beitrag schreibst.

Die von Dir zu konstruierende Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bildet also eine Funktion, wie z.B. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , in die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} P(\omega) \end{eqnarray*}$ ab. Und für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sollt Du zeigen, daß $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Das alles entnehme ich Deiner Aufgabenstellung.

Denk bitte nochmal über die Aufgabenstellung und die tatsächlichen Anforderungen und Voraussetzungen nach!

PS:

1. Was soll überhaupt die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f \mapsto \{f(n)\cdot 3^n: n\in \omega\} \end{eqnarray*}$ . Insbesondere der Pfeil an dieser Stelle?

2. Der gute Mann hieß von Neumann!

30.01.2011, 09:59

Wombat91

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RE: Injektion definieren
Vielen Dank für deine Antwort.
Ja, genau, so wie du das geschrieben hast, war es eigentlich auch gemeint. Entschuldigung, falls ich mich etwas unklar ausgedrückt habe...
$\begin{eqnarray*} f\mapsto \{f(n)\cdot 3^n: n \in \omega\} \end{eqnarray*}$
Ist eine andere Schreibweise für:
$\begin{eqnarray*} g(f(n))=\{f(n)\cdot 3^n: n \in \omega\} \end{eqnarray*}$
So habe ich das zumindest gelernt.

So wäre z.B. $\begin{eqnarray*} g(f_1(n))=\{0\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_1(n)=0 \end{eqnarray*}$
So war das ganze eigentlich gemeint!!

Hättest du mir nicht einen Tipp, wie ich zeigen könnte, dass g injektiv ist??

Die Definition der Injektivität ist mir klar: Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x_1, x_2 \in X x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Ich weiss einfach nicht, wie ich die Injektivität in diesem spezifischen Fall zeigen könnte...

30.01.2011, 12:52

Roman Oira-Oira

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RE: Injektion definieren
Gut, ich gehe zum Verständnis also davon aus, was ich oben geschrieben habe.
Eure Schreibweise für g(f(x)) ist aber wirklich sehr seltsam; bist Du sicher, daß vor dem Abbildungspfeil "f" und nicht "g" stehen soll? Aber egal jetzt!

Ich werde mal drüber nachdenken - habe aber erst heute Abend wieder Zeit, mich zu melden.

Bis dann! Gruß Roman.

30.01.2011, 13:49

Wombat91

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RE: Injektion definieren
Ja, ich glaub schon, guckst du:
http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%2...e_Schreibweisen
oder
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/84614,0.html
$\begin{eqnarray*} a\mapsto b \end{eqnarray*}$ bedeutet ja nichts anderes, als dass das Argument a auf b abgebildet wird.
Man schreibt ja dann auch z.B.:
$\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ abgebildet.
Deshalb steht da auch $\begin{eqnarray*} f\mapsto \{f(n)\cdot 3^n, n \in \omega\} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g\mapsto \{f(n)\cdot 3^n, n \in \omega\} \end{eqnarray*}$
f ist ja das Argument und nicht g. g ist die Funktion die f auf $\begin{eqnarray*} \{f(n)\cdot 3^n, n \in \omega\} \end{eqnarray*}$ schickt.
Vielleicht lieg ich auch völlig falsch, aber ich dachte, dass man das so aufschreibt.

Aber egal, das ist ja bloss eine Sache der Formalität. Es geht mir eigentlich mehr um die Idee...

01.02.2011, 09:46

Roman Oira-Oira

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Hallo Wombat91!

Entschuldige, daß ich mich noch nicht wieder bei Dir gemeldet habe.
Ich liege z.Zt. krank im Bett.

01.02.2011, 10:49

Wombat91

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Oh nein!! Gute Besserung, erhol dich gut!!
Hab' noch folgende Idee bekommen:
Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in ^{\omega}\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{f(n)\cdot 3^n|n\in \omega\}=\{g(n)\cdot 3^n|n \in \omega\} \end{eqnarray*}$
(Zu zeigen bleibt, dass das nur der Fall sein kann, wenn f=g gilt.)
Es folgt: $\begin{eqnarray*} \forall n \in \omega \exists m \in \omega: f(n)\cdot 3^n=g(m)\cdot 3^m \end{eqnarray*}$
Sowie: $\begin{eqnarray*} \forall n' \in \omega \exists m'\in \omega : g(n')\cdot 3^{n'}=f(m')\cdot 3^{m'} \end{eqnarray*}$ (*)

Sei nun also: $\begin{eqnarray*} x\in \{f(n)\cdot 3^n|n \in \omega\} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \exists n \in \omega: x = f(n)\cdot 3^n \end{eqnarray*}$ und da die Mengen gleich sind:
$\begin{eqnarray*} \exists m \in \omega: f(n)\cdot 3^n=g(m)\cdot 3^m \end{eqnarray*}$
Wegen der Bedingung (*) kann man annehmen, dass $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$
Wir können nun folgendes betrachten:
$\begin{eqnarray*} f(n)\cdot 3^n=g(m)\cdot 3^m \Leftrightarrow f(n)=g(m)\cdot 3^{m-n} \end{eqnarray*}$
Sei nun:
1) $\begin{eqnarray*} f(n)=0 \Rightarrow 0=g(m)\cdot 3^{m-n} \Leftrightarrow g(m)=0 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} f(n)\not= 0 \Rightarrow f(n) \in \{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0\not= f(n)= g(m) \cdot 3^{m-n} \Rightarrow g(m)\not= 0 \end{eqnarray*}$
Da aber $\begin{eqnarray*} 3^{m-n}\geq 3 \Rightarrow g(m)\cdot 3^{m-n}=f(n)\geq 3 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} f(n)\notin \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme.
Deshalb gilt $\begin{eqnarray*} m=n, f(n)=g(m)=g(n) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$
Folglich ist die Injektivität gezeig!!

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