Teilbarkeit

26.11.2006, 08:35	Bene	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit Huhu! in wunderbarem Elementarmathe sollen wir zeigen, dass für ungerade k > 1 und alle $\begin{eqnarray} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 2^{m}+1\mid 2^{km}+1 \end{eqnarray}$ Hab jetzt mit ner Polynomdivision angefangen, da kommt dann bei raus: $\begin{eqnarray} 2^{(k-1)m}-2^{(k-2)m}+2^{(k-3)m}-2^{(k-4)m}+2^{(k-5)m}-2^{(k-6)m} + ... - ... + \frac{1}{2^m+1} \end{eqnarray}$ Also ich schätze mal, das geht immer so weiter und am Ende steht dann da noch dieser Rest..jetzt muss ich das nurnoch gescheit interpretieren: Wenn k = 3, 5, 7, 9, 11, etc., dann soll $\begin{eqnarray} 2^{m}+1 \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} 2^{km}+1 \end{eqnarray}$ sein ... aber wie kann ich das begründen? Ansonsten, wenn der Weg zu kompliziert ist, lässt sich da mit den Fermat'schen Primzahlen was machen? Hat ein Kommilitone gemeint.. Danke für die Hilfe! Bene
26.11.2006, 10:01	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
setze mal $\begin{eqnarray} 2^m \end{eqnarray}$ gleich a $\begin{eqnarray} (2^m)^k=a^k \end{eqnarray}$ Also zu zeigen: $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} a^k+1 \end{eqnarray}$ offensichtlich teilt a+1 sich selbst. Es reicht also zu zeigen ,dass $\begin{eqnarray} a^k+1-(a+1) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ teilbar ist. $\begin{eqnarray} a^k+1-(a+1)=a(a^{k-1}+1) \end{eqnarray}$ Da a nicht durch a+1 teilbar ist muss der 2. Faktor dadurch teilbar sein. Wieder mit demselben Argument das oben benutzt wurde folgt, dass es reicht zu zeigen dass $\begin{eqnarray} (a^{k-1}-1) +a+1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ teilbar ist $\begin{eqnarray} (a^{k-1}-1) +a+1=a(a^{k-2}+1) \end{eqnarray}$ Da a nicht durch a+1 teilbar ist muss der 2. Faktor dadurch teilbar sein. Dieses Argument kann man jetzt beliebig oft anwenden. Jedesmal verringert sich der Exponent um 2. Da k ungerade ist kommt man schließlich zu $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ Dass das gilt ist offensichtlich.
26.11.2006, 10:25	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Anderer Weg: Ausgehend von: $\begin{eqnarray} a-b \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} a^n-b^n \end{eqnarray}$ Wenn n ungerade $\begin{eqnarray} (n=2x+1) \end{eqnarray}$ folgt, mit $\begin{eqnarray} b=-c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a-(-c) \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} a^{2x+1}-(-c)^{2x+1} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} (-1)^{2x+1}=-1 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} a+c \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} a^{2x+1}+c^{2x+1} \end{eqnarray}$ In deinem Fall $\begin{eqnarray} c=1 ; a=2^m ; 2x+1=k \end{eqnarray}$ folgt was du beweisen willst
26.11.2006, 13:26	Bene	Auf diesen Beitrag antworten »
okay...danke erstmal g den 2. Weg kann ich nachvollziehen, wenn ich $\begin{eqnarray} a-b \mid a^n-b^n \end{eqnarray}$ als bewiesen voraussetze ;-) und beim 1. versteh ich den schritt nicht, der aus dieser zeile Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a^k+1-(a+1) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a+1 \end{eqnarray}$ teilbar ist. diese hier macht: $\begin{eqnarray} a^k+1-(a+1)=a(a^{k-1}+1) \end{eqnarray}$ Naja... aber mit dem 2. Ansatz hab ich es jetzt nachvollzogen, denke das reicht, mehr erfahr ich dann ja im Tutorium, wenn wir das korrigieren.. Schönen Sonntag, Bene

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