Rang einer Matrix

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28.01.2011, 19:49	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix Ich habe gelesen, dass man den Rang einer Matrix sowohl durch elementare Spalten- als auch durch Zeilenumformungen bestimmen kann. Meine Frage dazu nun: Kann ich den Rang einer Matrix auch bestimmen, wenn ich beide Verfahren gleichzeitig verwende? "Intuitiv" denke ich, dass das klappen müsste, ich weiß bloß nicht, wie man das begründen kann. Vielen Dank
28.01.2011, 19:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang einer Matrix Was meinst du mit gleichzeitig? Jeder einzelne Schritt erzeugt eine neue Matrix, die den gleichen Rang wie die Ausgangsmatrix hat. Diese neue - nach Zeilenumformung - hätte also auch die erste vor - Spaltenumformung - sein können.
28.01.2011, 20:05	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine damit, dass ich bspw. bei einer Matrix A in Schritt 1 eine elementare Zeilenumformungen durchführen möchte und in Schritt 2 eine elementare Spaltenumformung und dann eine Matrix in Zeilenstufenform erhalte, sodass ich den Rang ablesen kann (in einem konstruierten Beispiel soll das eben so gehen). Hättest du auch eine Idee, wie man zeigen kann, dass beide elementaren Umformungen nicht Rangverändert sind? VIELEN DANK
28.01.2011, 20:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du denn, dass sie es einzeln sind? Weißt du, wie sie entstehen? Kennst du Elementarmatrizen?
28.01.2011, 20:18	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
Was Elementarmatrizen sind, weiß ich. In meinem Skript steht zu dem Thema nur, dass Elementarmatrizen invertierbar sind (ist mir klar) und das eben der Tatsache entspricht, dass sich der Rang einer Matrix unter elementaren Spalten/Zeilenumformungen nicht ändert. Ich wage mal einen Versuch. Die Menge aller invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe, multipliziere ich zwei Elemente aus der Gruppe miteinander, lande ich wieder in der Gruppe. Ist also A eine invertierbare Matrix und E eine beliebige Elementarmatrix, dann ist auch AE resp. EA eine invertierbare Matrix. Die Frage, die offen bleibt, ist nur (sofern mein "Beweis" stimmt), warum ändert sich der Rang der Matrix A, die NICHT vollen Rang besitzt, nicht, wenn sie mit Elementarmatrizen multipliziert wird? Vielen Dank
28.01.2011, 20:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe ist hier schlecht. Beantworte ob für Elementarmatrizen M gilt und eine beliebige quad. Matrix A. $\begin{eqnarray} \text{rang}(MA)=\text{rang}(A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{rang}(AM)=\text{rang}(A) \end{eqnarray}$ Und damit folgt dann was für $\begin{eqnarray} \text{rang}(MAM)=? \end{eqnarray}$
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28.01.2011, 20:33	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
=rang(A) Ich weiß, dass alle Aussagen stimmen, aber ich weiß nicht, wie ich das begründen soll. Es reicht ja aus, zu wissen, wie man die ersten beiden Aussagen begründet, die dritte ergibt sich ja dann daraus.
28.01.2011, 20:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Entscheidend ist, dass M regulär ist. Vergleiche z.B. die Kerne und nutze die Dimensionsformel.
28.01.2011, 21:13	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm...ich komme nicht so recht weiter. Meine Idee wäre nur folgende: Ich betrachte die entsprechenden linearen Abbildungen: $\begin{eqnarray} kerf_M=\{0\} =>f_M \end{eqnarray}$ ist injektiv. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} kerf_A=kerf_M \circ f_A \end{eqnarray}$ und wenn man wieder zu Matrizen übergeht $\begin{eqnarray} kerA=kerMA \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} dimker(MA)=dimkerA \end{eqnarray*}$ . Die Dimensionsformel umgestellt nach dem Rang liefert dann die Gleichheit der Ränge.
28.01.2011, 21:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrizen hatten nun gleiche Maße, also nxn (für andere kannst du das selbst überlegen). $\begin{eqnarray} \text{defekt}(MA)=\text{defekt}(A) \end{eqnarray}$ Wie kann man das einsehen? Sei x aus Kern(A), also Ax=0. Dann ist MAx=M0=0. Sei x nicht aus Kern(A). Dann ist Ax ungleich 0. Da M regulär ist, ist dann auch MAx ungleich 0. => Kern(A)=Kern(MA) => defekt(A)=defekt(MA) => Rang(A)=Rang(MA) $\begin{eqnarray} \text{defekt}(AM)=\text{defekt}(A) \end{eqnarray}$ Sei y aus dem Kern von A. Da M regulär ist, betrachte $\begin{eqnarray} x:=M^{-1}y \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} AMx=AMM^{-1}y=Ay=0 \end{eqnarray}$ . Für y aus nicht aus dem Kern, ist dann $\begin{eqnarray} AMx=AMM^{-1}y=Ay \end{eqnarray}$ offensichtlich nicht der Nullvektor.
28.01.2011, 21:38	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, hab ich verstanden. War meine Argumentation (mit der Injektivität) falsch? Vielen Dank für Deine Mühe!!!
28.01.2011, 21:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie benutzt die gleiche Idee. Der Schluss kam mir was schnell. War mir nicht sicher, ob du es wirklich verstanden hattest.
28.01.2011, 21:44	exp[12345]	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist echt total nett von Dir, dass Du Dir so viel Mühe gemacht und das extra nochmal alles aufgeschrieben hast!!!!! Schönes Wochenende =)
28.01.2011, 21:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »

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