linear unabhängig

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29.01.2011, 13:39	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
linear unabhängig Meine Frage: Hallo Sei J: $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{2}\Rightarrow \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus, für den $\begin{eqnarray} J^{2}=-E_{2}(\mathbb R ) \end{eqnarray}$ gilt.Zeigen oder Widerlegen sie,dass dann für jedes $\begin{eqnarray} v\in \mathbb R,v\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \left\{v,J(v)\right\} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig. Meine Ideen: also ein Endomorphismus ist ein Homomorphismu, der auf sich selbst abgebildet wird und linear unabhänig ist ein vielfachsumme für die gilt dass x=0 sein muss für x aus K. Mir fällt kein Ansatzt ein,wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
29.01.2011, 13:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage. Also, was steht da eigentlich? $\begin{eqnarray} J:~\mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist ein Endomorphismus (lin. Abbildung). Die nächsten Symbole sind mir unklar. Soll das bedeuten: Für die darstellende Matrix M von J gilt: $\begin{eqnarray} M_j^2 = -\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
29.01.2011, 13:49	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
29.01.2011, 13:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann können wir was über J sagen? Denn J² ist eine reguläre Matrix. Da nur 2 Vektoren zu betrachten sind, was bedeutet es dann im Falle v, J(v) sind linear abhängig? Wie kann man das notieren?
29.01.2011, 13:55	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn J(v) und v linear abhängig sind, dann gilt wegen $\begin{eqnarray} v\neq 0 \end{eqnarray}$ : J(v)=a v für a aus K aber wie bau ich die einheitsmatrix mit ein
29.01.2011, 14:01	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Einleitung mit aber mag ich nicht so gerne. Außerdem willst du die Aufgabe ja selbst lösen. Ich zeige dir nur Denkrichtungen auf. Bislang haben wir: v,J(v) sind la => v ist Eigenvektor zum reellen Eigenwert a Was ist dann J²v = ?
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29.01.2011, 14:04	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
J(J(v))=J(av)=aJ(v)=aav= $\begin{eqnarray} a^{2} \end{eqnarray}$ v und dies ist doch ungleich 0?
29.01.2011, 14:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher. Aber warum erwähnst du das? Warum sollte es 0 sein? Ich hätte mir eher mal die Eigenwerte der neg. Einheitsmatrix angeschaut....
29.01.2011, 14:09	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht so: $\begin{eqnarray} J^{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} v \end{eqnarray}$
29.01.2011, 14:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist nun die schöne Information mit dem Eigenwert a von J hin?
29.01.2011, 14:15	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
J(J(v))= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} a v \end{eqnarray}$ ?
29.01.2011, 14:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass doch die Matrix mal weg. J²v = J(Jv) = J(av) = ...
29.01.2011, 14:18	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
a J(v)=aav=a^2 v
29.01.2011, 14:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wie lautet ein EW von J²? Kann das sein?
29.01.2011, 14:23	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
EW?
29.01.2011, 14:24	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung. EW=Eigenwert.
29.01.2011, 14:27	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
dann müsste doch sein: $\begin{eqnarray} a^{2}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} J^{2} v=a_{2}v \end{eqnarray}$
29.01.2011, 14:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kompletter Unsinn. Ein Eigenwert ist ein Element des Körpers, rechts steht offensichtlich eine Matrix/lineare Abbildung. $\begin{eqnarray} J^{2} v=a^2v \end{eqnarray}$ Besagt doch nur, dass wir das Bild von v unter J² als Vielfaches von v angeben können, da v hier nicht nur Eigenvektor von J sondern auch von J² ist. Ich frage noch mal: zu welchem Eigenwert? Kann dies sein, wenn man sich die MAtrix J² anschaut und deren Eigenwerte...
29.01.2011, 14:36	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert von J^2 ist a ,oder?
29.01.2011, 14:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, a war der EW von J. $\begin{eqnarray} J v=av \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J^{2} v=a^2v \end{eqnarray}$
29.01.2011, 20:12	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann ist der Eigenwert von J^2 a^2
29.01.2011, 20:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Nun die entscheidende Frage: Wie lauten konkret die Ew von J²? passt das mit a² zusammen?
30.01.2011, 13:29	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist doch auch die negative Einheitsmatrix ein Eigenwert von J^2
30.01.2011, 13:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hörst einfach nicht zu, kann das sein? Eine 2x2 Matrix ist keine reelle Zahl. Und nur eine reelle Zahl kann hier ein Eigenwert sein. Ich habe dich doch ausdrücklich gefragt, wie die Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lauten. Bitte beantworte doch einfach meine Fragen. Danke.
30.01.2011, 13:43	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs noch nicht ganz verstanden mit den eigenwerten, ist -1 ein eigenwert von der negative einheitsmatrix?
30.01.2011, 13:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, (-1) ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Sieht man hier doch sehr schön, da es sich um eine Diagonalmatrix handelt (klar?) Man sieht auch, dass dies der einzige Eigenwert dieser Matrix ist (klar?)
30.01.2011, 13:49	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
ok soweit ist klar dann passt der eigenwert -1 mit a^2 nicht zusammen
30.01.2011, 13:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir stoßen mit unserer Argumentationkette (v, J(v) sind linear abhängig) also auf $\begin{eqnarray} -1 =a² \end{eqnarray}$ Warum kann das nicht sein?
30.01.2011, 13:53	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
da man die wurzel von -1 nicht ziehen kann
30.01.2011, 13:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das "kann" man schon. Auch wenn du da jetzt wiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiie ? fragen wirst.
30.01.2011, 13:56	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
naja mit den komplexen zahlen
30.01.2011, 13:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Sind wir im Komplexen?
30.01.2011, 13:58	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
nein wir sind bei den reelen zahl deswegen kann man die wurzel nicht ziehen
30.01.2011, 14:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau (muss aber erwähnt werden). Damit fallen wir mit der Annahme la auf die Nase. Was gilt also? Wie sieht denn J aus?
30.01.2011, 14:03	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
das besagt,dass v,J(v) linear unabhängig sind
30.01.2011, 14:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Hast du eine Idee, wie J aussehen könnte?
30.01.2011, 14:08	ArnoD	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht wirklich
30.01.2011, 14:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann probier mal aus. Tipp: Es kommen die Zahlen 0,0,1,-1 drin vor.

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