Vollkommene/Perfekte Körper |
29.01.2011, 14:38 | Tobiass | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vollkommene/Perfekte Körper Ein Körper heißt perfekt, falls alle endlichen Erweiterungen von separabel sind. Zeigen Sie für : a) Genau dann ist perfekt, wenn alle nicht-konstanten Polynome der Form für reduzibel sind. b) Genau dann ist perfekt, wenn der Frobenius-Monomorphismus ein Automorphismus ist. Meine Ideen: Ich hab überhaupt keine Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen kann. |
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30.01.2011, 19:51 | Urza | Auf diesen Beitrag antworten » |
zu a) : Kennst du die Aussage, dass ein Polynom genau dann eine mehrfache Nullstelle hat, wenn diese gemeinsame Nullstelle des Polynoms und seiner Ableitung ist? Das kann man hier verwenden. zu b) : Dass der Homomorphismus surjektiv ist bedeutet ja, dass jedes Körperelement eine p-te Wurzel hat. In Körpern der Charakteristik p gilt außerdem (warum?). Benutze das und a), um für nicht separable Polynome zu zeigen, dass sie reduzibel sind. |
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