Faltung Zufallsvariabeln

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garret Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Zufallsvariabeln
Habe folgende Aufgabe:

Die Anzahl seiner geschossenen Tore X pro Spiel unterliegen folgender Verteilung:

P(X = x) =
0.6, wenn x = 0
0.34, wenn x = 1
0.05, wenn x = 2
0.01, wenn x = 3

a) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Kurtosis der angegebenen Verteilung.

b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe der geschossenen Tore an zwei
hintereinander folgenden Spieltagen an.

c) Geben Sie Erwartungswert und Varianz für die Anzahl der geschossenen Tore in einer
Bundesliga-Saison an.


Die a und b sind kein Problem. Aber wie muss ich bei c) vorgehen?
Oder ist das einfach 34 * e(x) bzw 34 * Var (x)
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

handelt es sich hierbei um genau einen Spieler, dessen Torschützenmächtigkeit du hier w'theoretisch darstellst, dann sind das 34 Spiele, und für den Erwartungswert folgt dann: . Andererseits ist die Varianz die zugehörige quadratische Form zum Erwartungswert, d.h. hier darfst Du nicht so vorgehen. Du betrachtest die Zufallsvariable . Die Varianz ergibt sich also zu , so wie ich das sehe. mfg, dr.morrison
 
 
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also in der Aufgabenstellung ist von einem Spieler die Rede. Was ich mich frage, ist ob die 34 Zufallsvariablen unabhängig sind. Aber wenn in der Aufgabenstellung nix von einer Abhängigkeit steht, kann ich doch davon ausgehen oder?
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist hier nicht wichtig, da du die Summe der immerwieder gleichen Zufallsvariablen betrachtest. Wie ich oben schrieb, gilt: , und hierfür lässt sich die Varianz mittels Var(34X)= 34²Var(X) berechnen. Du brauchst hier kein Unabhängigkeitspostulat. Nur: Allgemein ist nicht davon auszugehen, dass Zufallsvariablen unabhängig sind, wenn nichts anderes dransteht. lg, dr.morrison
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

@dr.morrison

Du erzählst da gefährlich falsches Zeug, zumindest was die Varianz betrifft.

Für den Erwartungswert mag es egal sein, ob die Zufallsvariablen unabhängig sind oder nicht, es ist da einfach



genau wie .


Bei der Varianz hingegen gilt



unter der Voraussetzung der Unkorreliertheit, wofür z.B. die Unabhängigkeit hinreichend ist.

Der Fall (also wirklich "gleich" statt nur "gleich verteilt") führt hingegen zu

,

was aber eine völlig andere Situation als den Unabhängigkeitsfall darstellt!!!
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da komme ich jetzt nicht ganz mit.
Ich hätte jetzt intuititv 34² * Var (x) genommen und habe es eigentlich auch immer so gesehen.

In unserem Skript zur Vorlesung, steht jedoch auch nur 34 * Var (x). Das hat mich schon verwundert. Ist dies also wirklich richtig?
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Gehe jetzt mal davon aus dass es richtig ist.
In Aufgabe d) sollte ich die Tore pro Spieltag mit einer Exponential und Normalverteilung approximieren und anschließend die Tore pro Saison durch die entsprechenden Faltungen.

Bei der Normalverteilung habe ich dann einfach als Erwartungswert und Varianz die aus Aufgabe a) angenommen und bekomme bei der Faltung dann auch die Ergebnisse aus Aufgabenteil c).

Bei der Exponentialverteilung nehme ich auch als Erwartungswert den aus Aufgabe a) und berechne mir das Lamda.

Soweit korrekt, oder habe ich da was übersehen?
Anschließend sollen wir die Ergebnisse diskutieren. Mir fällt da nur zu ein, dass bei der Normalverteilung ja theoretisch auch negative Tore möglich wären...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von garret
Ich hätte jetzt intuititv 34² * Var (x) genommen und habe es eigentlich auch immer so gesehen.

In unserem Skript zur Vorlesung, steht jedoch auch nur 34 * Var (x). Das hat mich schon verwundert. Ist dies also wirklich richtig?

Wenn du meinst, dass diese Nachfrage nötig ist, dann hast du die Sache noch nicht verstanden. Was bedauerlich ist, denn das Verständnis dieses Unterschieds ist der entscheidende Schlüssel zum Verständnis der ganzen Statistik.
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ich glaube ich habe es jetzt verstanden und bin sehr dankbar für deine Mühe.
Vielleicht kannst du hier nochmal eben drüber gucken.


f) Man nehme nun zusätzlich an, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% krankheitsbedingt an einem Spieltag ausfällt. Geben Sie Erwartungswert und Varianz für die Anzahl der geschossenen Tore in einer Bundesliga-Saison an.


So, also 90 % der Spiele macht er, 10 % fällt er aus.

Ist der Erwartungswert dann
E(34* ( 0,9*(E(Tore pro Spiel) + 0,1* E(0))

und die Varianz
Var(34* ( 0,9*(Var(Tore pro Spiel) + 0,1* Var(0))

???
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich habe jetztalles soweit fertig.

Ich sollte also in d) die geschossenen Tore mit einer Normal oder Exponentialverteilung approximieren. Das habe ich über die Momente gemacht, die ich in a) für die diskrete Verteilung berechnet habe.

In f) sollte ich den Erwartungswert und die Varianz der geschossenene Tore berechnen unter der Wkeit, dass er in 10 % der Spielen ausfällt. Das habe ich über bedingt Wahrscheinlichkeiten gemacht.

Nur den letzten Aufgabenteil verstehe ich nicht:
Machen Sie Vorschläge, wie die Verteilung der geschossenen Tore unter Berücksichtigung der Ausfallwahrscheinlichkeit und den Annahmen von d)(der Teil mit der Exponential/Normalverteilung)modelliert werden könnte?

Ich kann ja jetzt einfach wieder den Erwartunswert und die Varianz, die ich für die diskrete Verteilung unter Berücksichtigung der 10% Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet habe nehmen, und damit die Momente der Normalverteilung approximieren. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das schon wieder verlangt wird.

Hat da jemand ein paar Vorschläge??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von garret
In f) sollte ich den Erwartungswert und die Varianz der geschossenene Tore berechnen unter der Wkeit, dass er in 10 % der Spielen ausfällt.

Von welchem er ist hier die Rede? verwirrt
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Der Spieler, um dessen Tore es geht smile
Nochmal schnell zusammen gefasst.
Ich habe diskrete Werte gegeben mit der W-Keit der geschossenen Tore. Daraus habe ich Erwartungswert und Varianz berechnet. Dann sollte ich die verteilung der geschossenen Tore mit der Normal oder Exponentialverteilung approximieren.
Und jetzt soll der Spieler an 10 % der Spieltage ausfallen und es sollen Vorschläge gemacht werden, wie die Verteilung der geschossenen Tore unter Berücksichtigung der Ausfallwahrscheinlichkeit und den Annahmen von d)(der Teil mit der Exponential/Normalverteilung)modelliert werden könnte?
garret Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe hier mal schnell hochgeladen : http://rapidshare.com/files/447934808/Lu...gabe_fertig.pdf
garret Auf diesen Beitrag antworten »

keiner eine Idee?
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