Vektoren linear abhängig?

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Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren linear abhängig?
Meine Frage:
Hey hey, ich hab hier 4 Vektoren und muss prüfen, ob diese linear abhängig sind.
a = ( 1 0 2 4 )^T
b = (3 11 -5 1 )^T
c = ( -1 -5 3 1)^T
d = (4 6 2 10)^T

( Die Vektoren haben ich jetzt mal anders hingeschrieben, also muss man sie noch transponieren)

Nun soll ich noch eine Basis von V (Vektorraum der 4 Vektoren) angeben.

Meine Ideen:
Linear abhängig sind sie ja dann, wenn sie sich gegenseitig untereinander darstellen lassen. Also wenn ich irgendwelche Vektoren addiere oder subtrahiere... oder multipliziere mit einer Zahl r.

Hab dies ca. 16x durchgeführt und bin darauf gekommen, dass diese 4 Vektoren alle linear unabhängig sind.

Somit wäre die Basis dann ja = alle 4 Vektoren.

Kommt mir aber etwas komisch vor. Hat jemand vielleicht eine Idee/Anregung für mich? :-)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren linear abhängig?
Zitat:
Original von Patricia1991
Hab dies ca. 16x durchgeführt und bin darauf gekommen, dass diese 4 Vektoren alle linear unabhängig sind.


Damit hast du 16 von unendlich vielen Möglichkeiten ausprobiert, ganz sicher dass du gerade die 16 wichtigen erwischt hast?

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie sich nicht-trivial zum Nullvektor kombinieren lassen, damit bekommst du einen Ansatz für ein Gleichungssystem.

Du kannst auch die Vektoren Zeilenweise in eine Matrix schreiben und den Gaußalgorithmus darauf anwenden, das liefert dir neben einer Aussage zur Un-/Abhängigkeit auch direkt eine Basis für den zweiten Aufgabenteil.
Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren linear abhängig?
Muss ich das LGS mit Gauß dann in die dreiecksform bringen und dann gucken, ob eine Nullzeile mit im LGS enthalten ist? Oder wie mache ich das dann?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du bringst das auf Dreiecksform bzw. auf Zeilenstufenform. Wenn du das auf strikte Zeilenstufen bringst, entsprechen die nicht-Nullzeilen deinen Basisvektoren.
Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »

oh super danke!! den rang hab ich zum glück schon ausgerechnet, da ich noch die dimension bestimmen sollte und somit hab ich ja gleich die basisvektoren und damit linear unabhängigen ausgerechnet.

Nach meiner Rechnung, wären dann die ersten drei vektoren unabhängig und somit eine basis von dem Vektorraum?

:-)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir sind nur 2 Vektoren linear unabhängig, du wirst dich wahrscheinlich irgendwo verrechnet haben, kontrollier das am besten nochmal. smile
 
 
Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau stimmt, jetzt habe ich auch rang 2 raus.
Meine letzte Frage nun, welche der Vektoren sind denn dann unabhängig? die letzten zwei zeilen sind ja 0 kann man dann gleich sagen die letzten vektoren ( also vektor 3 und vektor 4 oben sind unabhängig?

Weil die Frage lautete ja: Prüfen Sie ob diese Vektoren linear abhängig sind.

Nun weiß ich jetzt, dass zwei von ihnen es nicht sind. Aber welche?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht sagen, welche nicht linear abhängig sind, die Frage, ob diese Vektoren linear abhängig sind, das lässt sich mit einem knappen "Ja" beantworten. Augenzwinkern

Interessanter wird es für die Bestimmung der Basis; wenn du den Gaußalgorithmus durchgeführt und dabei keine Zeilen getauscht hast, dann kannst du mögliche Basisvektoren aus den vorgegebenen auswählen; wenn die i-te Zeile keine Nullzeile ist dann ist der i-te Vektor ein Basisvektor. Alternativ kannst du auch die erhaltenen nicht-Nullzeilen als deine Basisvektoren verwenden, da diese den selben Raum aufspannen.
Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »

also nach Gauß ist meine letzte Zeile dann:

1 3 -1 4
0 11 -5 6
0 0 0 0
0 0 0 0

dann ist die Basis { 1 3 -1 4} und { 0 11 -5 6}?

ich dachte immer die Basis ist dann ein oben genannter Vektor (a,b,c,d) und kein "neuer" der durch Gauß entstanden ist.

Die Vektoren sind dann linear abhängig, weil es zwei linear abhängige gibt nämlich die Nullzeilen?

Sry wenn ich so blöd hier rumfrage, aber ich würde gerne alles ganz exakt verstehen ^^ ;-)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht die Basis eines Vektorraums; für den ist z.B. eine Basis, aber auch ist eine Basis, das Erzeugnis dieser Vektoren ist jeweils der .

Du hast jetzt zwei nicht-Nullzeilen erhalten, wenn du keine Zeilen vertauscht hast, dann kannst du damit mögliche Basisvektoren auswählen; die erste und die zweite Zeile sind nicht Null, also bilden der erste und der zweite Vektor eine Basis des Raums, der von den 4 Vektoren aufgespannt wird. Allerdings kannst du auch als Basis nehmen, das ist dir überlassen.
Patricia1991 Auf diesen Beitrag antworten »

achso okay danke danke!! Gott

ja ich dachte irgendwie es gäbe nur eine, aber wäre schon sehr unlogisch Big Laugh da hast du recht. Ja ich wähle letzteres aus,da ich mir das dann so einfacher finde!
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