Isormophismus

31.01.2011, 13:17

Strukturenchaot

Isormophismus

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Allgemeine Frage:

Sind eine Gruppe G und eine algebraische Struktur S isomorph, so ist S Gruppe.

Meine Ideen:
Das verstehe ich nicht. Warum? Es soll leicht nachzurechnen sein. Ich habe wohl nicht ganz verstanden was Isomorph eigentlich ist. Ich stelle mir das wie folgt vor:

2 Mengen die die gleichen Elemnte enthalten, sind isomorph. Aber warum soll eine Gruppe G und eine Algebraische Struktur S isomorph sein und daraus resultieren wir das S eine gruppe ist? Muss ich dann nachweisen, dass die Algebraische Struktur also eine Gruppe ist? Hm... das scheint Sinn zu machen, aber wie mache ich das.

Vielen Dank für Eure Hilfe

31.01.2011, 13:38

Strukturenchaot

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RE: Isormophismus
Noch eine Frage... traurig

Was genau bedeutet Rechsinvers und Linksinvers. Es ist klar, dass damit invertierbare Zhalen/Buchstaben etc gemeint ist. Aber warum unterscheidet man zwischen Rechts-/ und Linksinvers?

01.02.2011, 13:37

Strukturenchaot

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RE: Isormophismus
Gut... Ich muss das wohl sehen. Kann mir jemand ein Beweis dafür liefern?

"Sind eine Gruppe G und eine algebraische Struktur S isomorph, so ist S Gruppe."

Das wäre toll, vielen Dank!

01.02.2011, 13:43

lgrizu

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RE: Isormophismus
Zwei Mal zu pushen innerhalb einer halben Stunde ist wirklich unverschämt.

Dazu blockierst du dich selbst, ein potentieller Helfer könnte bei zwei vorhandenen Antworten denken, es sei bereits ein Helfer am Werk.

Dann möchtest du noch, dass dir diese Aufgabe gelöst wird ohne eine Idee mitzubringen. unglücklich

Ich werde dir den Beweis nicht liefern, wir können uns aber gemeinsam Gedanken darüber machen.

Zuerst ist deine Auffassung der Isomorphie völlig falsch.

Zwei Algebren G und S heißen Isomorph zueinander, wenn es einen bijektiven Homomorphismus f gibt mit $\begin{eqnarray*} f: G \to S \end{eqnarray*}$ .

Was ist ein Homomorphismus?

01.02.2011, 14:50

Strukturenchaot

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Entschuldige traurig

Mir sind nur noch mehr fragen eingefallen unglücklich

Isomorphie bedeutet also "sehr ähnlich" im algebraischen Sinne.
Oder auch: "es ist egal, ob wir in der einen oder der anderen Gruppe rechnen, das resultat ist gleich."

Homomorphismen sind strukturerhaltend. Sie bilden eine Gruppe in eine andere ab, und das, was in der einen Gruppe an Struktur vorhanden war (Verknüpfung).

.... verwirrt

01.02.2011, 15:05

lgrizu

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Genau, also ein Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung.

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} f:G \to H \end{eqnarray*}$ , G und H sind Gruppen, mit $\begin{eqnarray*} f(a +_G b)=f(a) +_H f(b) \end{eqnarray*}$ .

Nun existiert ein solcher Homomorphismus zwischen deiner Gruppe G und deiner Algebra S, der dazu auch noch bijektiv ist.

Was bedeutet das für die Algebra S ?

01.02.2011, 15:18

Strukturenchaot

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Das meine Algebra S Isomorph ist...

01.02.2011, 15:29

lgrizu

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Zitat:

Original von Strukturenchaot
Das meine Algebra S Isomorph ist...

Kann eine Algebra einfach so Isomorph sein?

Ist Isomorphie nicht viel mehr eine Beziehung zwischen zwei Algebren?

Wir haben eine Gruppe G, diese ist versehen mit einer Verknüpfung.

Dann haben wir eine Algebra S, diese ist auch versehen mit mindestens einer Verknüpfung.

Sei $\begin{eqnarray*} +_G \end{eqnarray*}$ die innere Verknüpfung der Gruppe G und $\begin{eqnarray*} +_S \end{eqnarray*}$ die innere Verknüpfung von S.

Man kann sich jetzt erst einmal Gedanken darüber machen, warum S überhaupt eine zweistellige Verknüpfung haben muss, aber das setzen wir nun einmal voraus, auch wenn wir es nicht so dürften, S könnte auch die Menge aller Punkte im R² sein und die Verknüpfung eine Spiegelung an einer Koordinatenachse, dann hätte S keine zweistellige Verknüpfung sondern nur eine einstellige, aber dann könnte es keinen Homomophismus zwischen den beiden Algebren geben, da die Homomorphiebedingung nicht erfüllt werden kann, also können wir annehmen, dass es eine zweistellige Verknüpfung gibt.
Durch die Isomorphiebeziehung ist eine Funktion f gegeben, für die gilt f ist bijektiv, also S ist gleichmächtig wie G und f ist ein Homomorphismus.

Nun gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in G \exists y \in S:f(x)=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

Fernerhin ist $\begin{eqnarray*} f(x_1 +_G x_2)=f(x_1)+_S f(x_2)=y_1+_Sy_2 \end{eqnarray*}$ .

Es sind nun die Gruppenaxiome zu überprüfen.

1.)Abgeschlossenheit

2.)Es existiert ein neutrales Element, das ist schon fast trivial, da ein Homomorphismus das neutrale Element immer auf das neutrale Element abbildet.

3.)Es existieren Inverse.

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