R-VR im linear unabhänigen System

26.11.2006, 14:57	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
R-VR im linear unabhänigen System Seit V ein R-Vektorraum mit einem linear unabhängigen System $\begin{eqnarray} v_1 .. v_n \end{eqnarray}$ Wir definieren die Teilmenge $\begin{eqnarray} W={ \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n \lambda_i \in R \| und \lambda_1 + ... + \lambda_n = 0 } \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass W ein linearer Unterraum von V ist. Geben Sie die Basis von an und bestimmen Sie die Dimension. Ist nicht die Basis von $\begin{eqnarray} W= W_1..n \end{eqnarray}$ und damit die Dimension von $\begin{eqnarray} W_1..n \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n \end{eqnarray}$ nichts anderes heisst als $\begin{eqnarray} \binom {lamda_1}{lamda_n} \binom {v_1}{v_2} \end{eqnarray}$ Also das Skalarprodukt einfach ausmultipliziert!
26.11.2006, 23:07	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Schließe mich der Frage an : Also es muss folgendes gezeigt werden : 1) W ist linearer Unterraum von V 2) Basis von W angeben. 3) Dimension der Basis bestimmen. Zu 1 : W ist linearer Unterraum wenn folgende Bedingungen erfüllt sind : $\begin{eqnarray} 0 \in W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u,v \in W \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} u+v \in W \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R, u \in W \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c \cdot u \in W \end{eqnarray}$ Die 0 ist ja drin das geht ja direkt aus $\begin{eqnarray} W={ \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n \lambda_i \in R \| und \lambda_1 + ... + \lambda_n = 0 } \end{eqnarray}$ hervor oder ? Eigentlich zeigt das doch auch das Für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R, u \in W \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} c \cdot u \in W \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Da mein Lamda einfach mein c ist oder ? Wie mache ich das denn mit der Addition? mfg Silver
27.11.2006, 14:12	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R-VR im linear unabhänigen System die aufgabe haben wir scheinbar gelöst, werden unsern lösungsweg hier reinposten um zu gucken ob der richtig ist
27.11.2006, 17:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , welches $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ? Was bedeutet $\begin{eqnarray} W= W_1..n \end{eqnarray}$ ?? Habt ihr überhaupt verstanden, wie der Unterraum definiert ist? Das ist die Menge aller Linearkombinationen $\begin{eqnarray} \lambda_1v_1+\ldots+ \lambda_nv_n \end{eqnarray}$ , für die zusätzlich $\begin{eqnarray} \lambda_1+\ldots+\lambda_n=0 \end{eqnarray}$ gilt. Beim Unterraumkriterium müsst ihr zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} u,v\in W \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} u+v,cu \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} c\in\mathbb R \end{eqnarray}$ wieder in $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ liegen. D.h.: Wenn es Darstellungen $\begin{eqnarray} u=\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_nv_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\mu_1v_1+\ldots+\mu_nv_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_1+\ldots+\lambda_n=\mu_1+\ldots+\mu_n=0 \end{eqnarray}$ gibt, dann besitzen auch $\begin{eqnarray} u+v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cu \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} c\in\mathbb R \end{eqnarray}$ eine solche Darstellung. Davon sehe ich bei euch leider noch keine Ansätze. Und dass $\begin{eqnarray} 0\in W \end{eqnarray}$ ist, sollte man auch explizit durch eine Gleichung begründen. Gruß MSS

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