Bweis, Teilbarkeit durch 9

26.11.2006, 15:41	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
Bweis, Teilbarkeit durch 9 Hallo, habe folgende Aufgabe, die ich nicht lösen kann... Man hat die Ziffern 1-9 gegeben. Bildet man daraus nun drei dreistellige Zahlen (jede Ziffer kommt natürlich nur einmal vor), erhält man immer eine Zahl, die durch 9 teilbar ist. Das soll ich nun beweisen.... weiß aber nicht wie
26.11.2006, 15:47	Schmonk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist die Aussage falsch: {123 ; 456 ; 789} wäre ein solches Tripel von 3-stelligen Zahlen und keine davon ist durch 9 teilbar... Grüße!
26.11.2006, 16:00	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, also ich glaube, es ist so gemeint, dass man die drei Zahlen addieren muss und dann ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar. Hab ich vergessen zu sagen...;-)
26.11.2006, 16:19	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das liegt unter anderem daran, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^9 i =45 \end{eqnarray}$ durch 9 teilbar ist
26.11.2006, 17:03	citti	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das klingt schon irgendwie logisch, aber damit ist der gegebene Sachverhalt doch noch nicht bewiesen, oder?
28.11.2006, 14:25	The Rob	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde mal behaupten, dass wenn die summe der quersummen durch eine 9 teilbar ist, ist auch die summe der drei zahlen durch neun teilbar. robert
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28.11.2006, 15:36	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar wenn ihree Quersumme durch 9 teilbar ist. Deine Zahlen sind nun immer von der Sturkur $\begin{eqnarray} a_i\cdot10^2+a_{i+1}\cdot 10+a_{i+2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a_{i+3}\cdot10^2+a_{i+4}\cdot 10+a_{i+5} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{i+6}\cdot10^2+a_{i+7}\cdot 10+a_{i+8} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} a_i\mapsto\left\{1;2;...;9\right\} \end{eqnarray}$ Das sind deine Drei Zahlen. Wenn man die nun addiert bekommt man $\begin{eqnarray} \left[a_{i}+a_{i+3}+a_{i+6}\right]\cdot 10^2+ \left[a_{i+1}+a_{i+4}+a_{i+7}\right]\cdot 10 + \left[a_{i+2}+a_{i+5}+a_{i+8}\right] \end{eqnarray}$ als Summe der Zahlen. Nun noch leicht umformen und ausklammern: $\begin{eqnarray} & &\left[a_{i}+a_{i+3}+a_{i+6}\right]\cdot 10^2+ \left[a_{i+1}+a_{i+4}+a_{i+7}\right]\cdot 10 + \left[a_{i+2}+a_{i+5}+a_{i+8}\right]\\&=&\left[a_{i}+a_{i+3}+a_{i+6}\right]\cdot 10^2+ \left[a_{i+1}+a_{i+4}+a_{i+7}\right]\cdot 10^1+ \left[a_{i+2}+a_{i+5}+a_{i+8}\right]\\&=&\left[a_{i}+a_{i+3}+a_{i+6}\right]\cdot \left[9\cdot \left(10^1+1\right)+1\right]+ \left[a_{i+1}+a_{i+4}+a_{i+7}\right]\cdot \left[9+1\right] + \left[a_{i+2}+a_{i+5}+a_{i+8}\right]\\&=&9\cdot\left[10\cdot\left[a_{i}+a_{i+3}+a_{i+6}\right]+ \left[a_{i+1}+a_{i+4}+a_{i+7}\right]\right] + \sum_{\nu=0}^8~a_{i+\nu} \end{eqnarray}$ Und siehe da: hinten steh die summe die sqrt4 angesprochen hat.

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