nachweisen, dass matrix ähnlich ist zur diagonalmatrix

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darmstadt90 Auf diesen Beitrag antworten »
nachweisen, dass matrix ähnlich ist zur diagonalmatrix
Meine Frage:
Hallo ,
ich habe die folgende Frage
Beweisen Sie , dass die reelle Matrix
( 0 0 -2)
A:=( 1 2 1 )
( 1 0 3 ) über IR ähnlich zu einer Diagonalmatrix D.
ich wäre denkbar für ihre Hilfe

Meine Ideen:
ich habe die Spur von A berechnet . (0 + 2 3 = 5)
aber ich habe nicht die Matrix D.
bestimmen Sie D ist die zweite Frage.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spur wird dir nicht viel weiterhelfen; auch wenn und die gleiche Spur haben werden.

Welche Kriterien für Diagonalisierbarkeit kennst du denn?
darmstadt90 Auf diesen Beitrag antworten »
Kriterien
Hi,
das sind die Kriterien
*Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Eine
lineare Abbildung  phi: V -> V heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B
von V gibt, so dass M von B nach
B (phi) eine Diagonalmatrix ist.
*Eine Matrix A 2 € Kn×n heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare
Matrix S € Kn×n gibt, für die S-1AS eine Diagonalmatrix ist.
*Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und  : phi : V -> V eine
lineare Abbildung. Dann ist  genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der
Dimensionen aller Eigenraeume gleich n ist.
*Es sei A € Rn×n symmetrisch. Dann sind alle Eigenwerte reell
und es gibt eine Orthonormalbasis von Rn aus Eigenvektoren von A. Insbesondere
ist jede symmetrische Matrix also diagonalisierbar
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist leider völlig unlesbar (versuch dich bitte mal am Formeleditor), aber der Punkt

Zitat:
*Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und  : phi : V -> V eine
lineare Abbildung. Dann ist  genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der
Dimensionen aller Eigenraeume gleich n ist.


ist schon einigermaßen zielführend. Noch besser ist:

Zitat:
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und linear. Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von bestehend aus Eigenvektoren von gibt.


Dies liefert dir auch sofort den Weg, wie du die Matrix diagonalisieren kannst. Also bestimme mal die Eigenwerte und schau dir die Eigenräume an.
darmstadt90 Auf diesen Beitrag antworten »

ok
danke für ihre Hilfe Augenzwinkern
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du fertig bist, kannst du ja die Diagonalmatrix hier angeben.
 
 
darmstadt90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe drei Lambda gefunden.
lamda 1 ist gleich 1
lambda 2 ist gleich 2
lambda 3 ist gleich 2
D sieht so aus :
1 0 0
0 2 0
0 0 2
greg121 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hast du die korrekten 3 eigenwerte und musst die dazugehörigen eigenvektoren ausrechnen, erst die ergeben dann den eigenraum.

und grüß mir den robert
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von greg121
jetzt hast du die korrekten 3 eigenwerte und musst die dazugehörigen eigenvektoren ausrechnen, erst die ergeben dann den eigenraum.


"Den" Eigenraum gibt es hier nicht, da es zwei verschiedene Eigenwerte gibt.
greg121 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
"Den" Eigenraum gibt es hier nicht, da es zwei verschiedene Eigenwerte gibt.


ich glaube schon, dass es "den" eigenraum gibt, wenn der Eigenwert 2 mir 2 unabhängige EV ausspuckt. aber bin kein mathematiker oder sowas smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

jester wollte nur sagen, daß es zu jedem Eigenwert einen (unterschiedlichen) Eigenraum gibt. Unterm Strich gibt es also bei verschiedenen Eigenwerten mehrere Eigenräume und also nicht den Eigenraum.
greg121 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke für den hinweis.
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