Wohldefiniertheit

02.02.2011, 02:03

Pustefix91

Wohldefiniertheit

Guten Abend,

ich habe eine Frage bezüglich der Wohldefiniertheit. Aufgabe: Zwei zyklische Gruppen sind genau dann isomorph, wenn ihre Kardinalzahlen übereinstimmen. Nun
seien G, H zwei zyklische Gruppen mit gleicher Kardinalität. Definiere die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: G -> H , f( g^{k}) = h^{k} \end{eqnarray*}$ Seien $\begin{eqnarray*} g^{k} = g^{l} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k,l\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(g^{k}) = f(g^{l}) \Rightarrow h^{k} = h^{l} \end{eqnarray*}$ . Reicht das schon für die Wohldefiniertheit? Das kommt mir ein wenig zu leicht vor.. Muss ich das nicht irgendwie anders begründen? verwirrt

02.02.2011, 07:07

tmo

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Für die Wohldefiniert ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} g^k = g^l \Rightarrow f(g^k) = f(g^l) \end{eqnarray*}$

Das hast du hier noch nirgends getan.

Es bedarf hier wohl einer Fallunterscheidung nach G endlich und G unendlich.

02.02.2011, 08:57

Pustefix91

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Ok, vielen Dank erst Mal. Leider habe ich immer noch nicht genau verstanden wie ich dies nun zeigen soll. Ich versuchs dennoch. Muss ich zunächst zeigen das es sich bei der Verknüpfung um einen Homomorphismus handelt? Sonst habe ich keine ahnung wie ich die Wohldefiniertheit zeigen muss.Mal angenommen ich hätte die Voraussetzungen bereits gezeigt mit Ausnahme der Wohldefiniertheit. Also Fall1: Seien G und H endliche Gruppen. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} g^{k}= g^{l} \Rightarrow g^{k}(g^{l})^{-1} = e \Rightarrow g^{k}g^{-l}= e \Rightarrow f(g^{k}g^{-l}) = f(e) = e \Rightarrow f(g^{k})f(g^{-l})= e \Rightarrow<br /> f(g^{k})= f(g^{l}) \Rightarrow h^{k} = h^{l} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Wie muss man das für den Fall das G und H unendlich sind zeigen?
LG Pustefix91

02.02.2011, 18:28

Pustefix91

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Ich möchte nicht drängeln oder sowas, aber noch mal auf meine Frage aufmerksam machen da ich leider immernoch nicht wirklich weiter weiß.Ist dies der Richtige weg um die Wohldefiniertheit zu zeigen? Und was muss ich beachten, wenn die Gruppen unendlich sind? Bin für jede Hilfe dankbar. Wink

03.02.2011, 09:10

Pustefix91

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Hat die niemand eine Idee unglücklich

03.02.2011, 09:17

tmo

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Du kannst nicht einfach Eigenschaften einer Abbildung benutzen, von der du noch nicht mal weißt, ob sie wohldefiniert sind.

Z.b. folgerst du u.a.: $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ .

Dabei benutzt du aber schon die Wohldefiniertheit.

Übrigens: Sind an g und h noch irgendwelche Anforderungen gestellt? Z.b. dass sie ihre Gruppen jeweils erzeugen? Weil sonst macht das ganze sowieso keinen Sinn.#

Hat z.b. g die Ordnung 2 in G, aber h die Ordnung 4 in H, so ist $\begin{eqnarray*} g^2=g^4 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(g^2)=h^2 \neq h^4=f(g^4) \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 18:34

Pustefix91

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Zitat:

Original von tmo
Übrigens: Sind an g und h noch irgendwelche Anforderungen gestellt? Z.b. dass sie ihre Gruppen jeweils erzeugen? Weil sonst macht das ganze sowieso keinen Sinn.#

Hat z.b. g die Ordnung 2 in G, aber h die Ordnung 4 in H, so ist $\begin{eqnarray*} g^2=g^4 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(g^2)=h^2 \neq h^4=f(g^4) \end{eqnarray*}$

Entschuldigung hatte vergessen zu erwähnen das diese beiden Element die Gruppe G bzw. H erzeugen. Also $\begin{eqnarray*} G = <g> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H = <h> \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tmo
Du kannst nicht einfach Eigenschaften einer Abbildung benutzen, von der du noch nicht mal weißt, ob sie wohldefiniert sind.

Z.b. folgerst du u.a.: $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ .

Dabei benutzt du aber schon die Wohldefiniertheit.

Ja, ok das muss ich ja zeigen. Weiß nur leider nicht wie. Du sagtest bereits das man hier eine Fallunterscheidung machen sollte. Also Fall1: G, H sind endliche Gruppen und Fall2: G, H sind unendliche Gruppen. Ansonsten habe ich keine Ahnung was ich überhaupt tun soll. Gut es handelt sich um zyklische Gruppen d.h es gibt ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N : g^{n} = e \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} l\in \mathbb N : h^{l} = e \end{eqnarray*}$ , wenn die Gruppen endlich sind. Sind sie unendlich so weiß man nur das es die Gruppen nur durch g bzw. h erzeugt werden. Hm und nun?

03.02.2011, 18:36

tmo

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Vielleicht betrachten wir erstmal den trivialen Fall, nämlich, wenn die Gruppen unendlich sind.

Dann ist nämlich eigentlich nichts zu zeigen, denn die Darstellung $\begin{eqnarray*} a=g^k \end{eqnarray*}$ ist dann für jedes $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ eindeutig, sprich es kann gar nichts passieren, was der Wohldefiniert der Abbildung wehtun könnte.

03.02.2011, 18:40

Pustefix91

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Ja, ok. Aber wenn die Kardinalität identisch ist, so ist dies für mich genauso trivial. Denn die Gruppen haben doch die gleiche Anzahl an Elementen ? verwirrt

03.02.2011, 18:45

tmo

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Bei welchem Fall bist du denn jetzt?

Hast du den Fall unendlicher Kardinalität jetzt verstanden?

03.02.2011, 18:47

Pustefix91

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Ich spreche von dem Fall in dem die Kardinalität beider Gruppen endlich ist. Der Fall für unendlicher Kardinalität leuchtet mir ein.

04.02.2011, 06:58

tmo

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Für den Fall endlicher Kardinalität kann es passieren, dass $\begin{eqnarray*} g^k = g^l \end{eqnarray*}$ gilt, obwohl k,l verschieden sind. Du musst zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} h^k = h^l \end{eqnarray*}$ gilt.

Zeige doch mal: $\begin{eqnarray*} g^k = g^l \Leftrightarrow o(g) | (k-l) \end{eqnarray*}$

Wie hängen nun o(g) und o(h) zusammen?

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