Erzeugendensystem Ideale

02.02.2011, 12:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem Ideale Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} I=(a_1,...,a_n), J=(b_1,...,b_m) \end{eqnarray}$ Ideale in einem Ring R. Geben Sie Erzeugendensysteme für die Ideale I+J und IJ an. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} (a_1,...,a_n)=Ra_1+...+Ra_n=\left\{r_1a_1+...+r_na_n:r_1,...,r_n\in R\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b_1,...,b_m)=Rb_1+...+Rb_m=\left\{r_1b_1+...+r_mb_m:r_1,...,r_m\in R\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I+J=\left\{x+y:x\in I,y\in J\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\sum_{i=1}^{n}r_ia_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sum_{j=1}^{m}r_jb_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y=\sum_{i=1}^{n}r_ia_i+\sum_{j=1}^{m}r_jb_j \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich nun nicht weiter: Wie findet man nun ein (möglichst kleines) Erzeugendensystem? EDIT: Oder lautet hier die Lösung bereits: $\begin{eqnarray} I+J=(a_1,...,a_n,b_1,...,b_m) \end{eqnarray}$ ? Für $\begin{eqnarray} IJ \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} IJ=(a_ib_j:i=1,...,n;j=1,...,m) \end{eqnarray}$ ? Zumindest fällt mir nicht ein, wie man minimalere Erzeugendensysteme finden soll und eigentlich steht davon ja auch nichts in der Aufgabenstellung.
03.02.2011, 13:30	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Dennis, Dein Ergebnis stimmt. Über die Minimalität wirst Du ohne Kenntnis von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ keine allgemeinen Aussagen treffen können. Gruß, Reksilat. btw.: "minimal" lässt sich nicht steigern.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »