Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) |
| 02.02.2011, 21:40 | serepta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) Ich brauche dringend Hilfe bei der Lösung einer recht allgemein gehaltenen Differentialgleichung: (d/dx) y(x) = -k * y(x) zu den Randbedingungen y(0)=a k,a Element der positiven rationalen Zahlen Aufgaben: 1. Berechnen sie die Lösung 2. skizzieren sie die Lösungsfunktion 3. für welches x gilt y(x)=a/2 Ich brauche vor allem Hilfe beim 1. Teil, der Rest sollte sich dann daraus ergeben. Meine Ideen: Wäre das eine Differentialgleichung wie z.B. y'=e^(-2x) hätte ich kein Problem, dann wäre das Vorgehen ersichtlich: Variablentrennung nach y, x Integration beider Seiten Umformen nach y=... Randbedingung einsetzen ...aber bei dem oben beschriebenen Problem habe ich einfach ein Problem mit der Darstellung!!! |
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| 02.02.2011, 21:51 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) Inwiefern soll diese DGL denn "allgemeiner gehalten" sein? Da steckt einfach noch ein Parameter k drin, aber der tut doch keinem weh. Du kannst hier auch ganz simpel die Variablen trennen. Das war's schon. |
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| 02.02.2011, 22:01 | serepta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) ...mich verwirrt einfach dieses y(x) anstatt nur y auf beiden Seiten und d/dx anstatt von dy/dx !!! Wenn ich diese DGL aber so lese wie du gesagt hast, komme ich nach Trennung der variablen (ich lasse das k auf der x Seite) und Integration auf ln|y|=-kx + C und muss jetzt doch irgendwie den ln wegbekommen - oder? |
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| 02.02.2011, 22:13 | serepta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) ln |y| =-kx + ln |C| --> |y/C| = e ^(-kx) --> y(x)= (- oder +) e^(-kx) *C und mit y(0)=a=(- oder +) C --> C= (- oder +) a --> y(x)=(- oder +) e^(-kx)*a stimmt das soweit? bei der skizze müsste dann ja wegen a,k Element der positiven rationalen Zahlen eine Schar von Funktionen entstehen, die eine Fläche ergeben - oder? |
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| 02.02.2011, 22:23 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung)
Naja, ob man y(x) oder einfach nur y schreibt, ist völlig egal. Und auch (d/dx)y ist genau das selbe wie dy/dx. Aber das hast du ja nun schon selbst rausgefunden. Bei Differentialgleichungen muss man immer etwas flexibel sein, weil jeder da eine andere Notation bevorzugt.
Dieses (- oder +) finde ich ohnehin etwas merkwürdig, weil das in Bezug auf die Konstante C total Banane ist. C durchläuft ebenso die reellen Zahlen wie -C, das kannst du dir also getrost schenken. Arbeite von Anfang an mit positivem Vorzeichen, also einfach mit C*... , das ist am einfachsten. Zudem wäre es hier am Ende auch falsch, wenn da ein Minus stünde, denn dann wäre f(0)=-a und das ist nicht verlangt. Es muss f(0)=a sein.
Wie, eine Fläche? Nunja, genau zeichnen kann man die Funktion ja nicht, es steckt ja immer noch der Scharparameter a drin. Ich würde mir für a,k einfach irgendwelche einfachen Werte nehmen und eben die Funktion skizzieren, fertig. a=k=1 vielleicht. Positiv müssen sie ja sein. oder du markierst in deiner Skizze zum Beispiel f(0) auf der y-Achse mit a, sowas eben. |
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| 02.02.2011, 22:28 | serepta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung (andere Darstellung) ...vielen vielen Dank für deine Hilfe !!! 
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