Körpererweiterung

26.11.2006, 19:44

Sunwater

Körpererweiterung

Hi...

folgende Aufgabe bereit mir Kopfzerbrechen:

Sei L/K eine Körpererweiterung und $\begin{eqnarray*} a,b \in L \end{eqnarray*}$ algebraisch über K.
Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} [K(a):K], [K(b):K] \end{eqnarray*}$ teilerfremd. Zu bestimmen ist der Grad von $\begin{eqnarray*} K(a,b)/K \end{eqnarray*}$

meine Vermutung ist, dass $\begin{eqnarray*} [K(a,b):K]=[K(a):K] \cdot [K(b):K] \end{eqnarray*}$

Dazu folgende Überlegung: Sei $\begin{eqnarray*} [K(a):K]=m, [K(b):K]=n \end{eqnarray*}$

nach der Gradformel gilt:

$\begin{eqnarray*} q:= [K(a,b):K] &=[K(a,b):K(a)] \cdot [K(a):K] \\ &=[K(a,b):K(b)] \cdot [K(b):K] \end{eqnarray*}$

daraus lässt sich folgern: $\begin{eqnarray*} n | q \textnormal{ und } m |q \Rightarrow n \cdot m | q \end{eqnarray*}$

weil n und m ja teilerfremd sind.

Jetzt könnte ja aber q auch ein vielfaches von nm sein. Wie kann ich das noch widerlegen?

26.11.2006, 21:05

vektorraum

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RE: Körpererweiterung
Hi!

Weiß jetzt nicht so genau, ob deine Vermutung stimmt verwirrt

Aber ich würde die Aufgabe mal ganz fix übers Minimalpolynom machen... Wenn du schon weißt, das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind, ist es doch keine Hürde mehr...

26.11.2006, 22:03

Sunwater

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ich hab auch schon übers Minimalpolynom nachgedacht, aber da komme ich auf ne andere Vermutung:

wenn ich ein Min(a) habe und Min(b), dann könnte ich die einfach multiplizieren und hätte Min(a,b), oder? - so rein vorstellungstechnisch.

Aber dann würden sich die Grade addieren und nicht multiplizieren...

also kann eine Überlegung nicht hinhauen, und die ich beschrieben habe fand ich plausibler... verwirrt

27.11.2006, 15:37

vektorraum

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@sunwater: die armen Minimalpolynome verwirrt

Also, so weit hat deine Argumentation ja fast gestimmt. D.h. bis aus ggT(m,n)=1 folgt auch $\begin{eqnarray*} mn|q \end{eqnarray*}$ . Andererseits ist ja auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist.
Dann weißt du doch hoffentlich, dass der Grad von $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ für über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ algebraische $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekanntlich der Grad des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist (habt ihr mal so oder ähnlich als Satz formuliert).

Dann gilt $\begin{eqnarray*} [K(a,b):K(a)]\leq[K(b):K] \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \operatorname{Min}_{b,K} \end{eqnarray*}$ ein Polynom über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ ist, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Min}_{b,K(a)~|~\operatorname{Min}_{b,K} \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich aus der zweiten Beziehung der Gradformel:

$\begin{eqnarray*} q\leq m\codt n \end{eqnarray*}$ Also folgt: $\begin{eqnarray*} q=m\cdot n \end{eqnarray*}$ .

Ist das ein bisschen klarer geworden???

27.11.2006, 15:38

vektorraum

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@sunwater: die armen Minimalpolynome verwirrt

Also, so weit hat deine Argumentation ja fast gestimmt. D.h. bis aus ggT(m,n)=1 folgt auch $\begin{eqnarray*} mn|q \end{eqnarray*}$ . Andererseits ist ja auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist.
Dann weißt du doch hoffentlich, dass der Grad von $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ für über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ algebraische $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekanntlich der Grad des Minimalpolynoms von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist (habt ihr mal so oder ähnlich als Satz formuliert).

Dann gilt $\begin{eqnarray*} [K(a,b):K(a)]\leq[K(b):K] \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \operatorname{Min}_{b,K} \end{eqnarray*}$ ein Polynom über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ ist, dass $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat, also $\begin{eqnarray*} \operatorname{Min}_{b,K(a)~|~\operatorname{Min}_{b,K}} \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich aus der zweiten Beziehung der Gradformel:

$\begin{eqnarray*} q\leq m\cdot n \end{eqnarray*}$ Also folgt: $\begin{eqnarray*} q=m\cdot n \end{eqnarray*}$ .

Ist das ein bisschen klarer geworden???

Edit: Irgendwas ist hier schiefgelaufen - hab den Beitrag editiert und auf einmal ist er zweimal da verwirrt

Sorry, keine Absicht...

27.11.2006, 21:40

Sunwater

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Zitat:

Original von vektorraum

Dann gilt $\begin{eqnarray*} [K(a,b):K(a)]\leq[K(b):K] \end{eqnarray*}$

genau das zu zeigen hat mir noch gefehlt... ich wollte immer Gleichheit zeigen und da kam ich irgendwie nicht viel weiter, aber danke für deine Hilfe...

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