Lösung in form z=a+bi

04.02.2011, 14:29

evilbiddy

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Lösung in form z=a+bi

Meine Frage:
Geben Sie alle Lösungen $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ der folgenden Gleichung in der Form z=a+bi mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} (z+3i)^{4} = 16 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
wenn ich $\begin{eqnarray*} w^{4} = 16 \end{eqnarray*}$ löse, kommt ich auf dei Lösungen 2-3i und -2-3i.
wie komm ich jetzt auf die letzten beiden Lösungen??
Hab die Formel
$\begin{eqnarray*} z_{k} = \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\frac{\gamma+k\cdot2\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{\gamma+k\cdot2\pi}{n})) \end{eqnarray*}$
weiß allerdings nicht genau was ich für r einsetzten soll ...

04.02.2011, 14:35

corvus

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RE: Lösung in form z=a+bi

Zitat:

Original von evilbiddy

$\begin{eqnarray*} (z+3i)^{4} = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^{4} = 16 \end{eqnarray*}$
Hab die Formel
$\begin{eqnarray*} w_{k} = \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\frac{\gamma+k\cdot2\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{\gamma+k\cdot2\pi}{n})) \end{eqnarray*}$
weiß allerdings nicht genau was ich für r einsetzten soll ...

Wink

r= 16 .. und was setzt du für den Winkel .. und was für n und für k ein?

.

04.02.2011, 14:42

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
n ist in meinem fall 4 für den Wiinkel setz ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ein und k geht in meinem fall von 0 bis 4 ... so hab ichs jedenfalls verstanden

04.02.2011, 14:45

corvus

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RE: Lösung in form z=a+bi

Zitat:

Original von evilbiddy

n ist in meinem fall 4 ja

für den Wiinkel setz ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ein falsch

und k geht in meinem fall von 0 zB ja

bis 4 ... nein

so hab ichs jedenfalls verstanden

......................................... echt?

.

04.02.2011, 14:50

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
k, mit n sind wir uns ja immerhin schon mal einig Freude

Freude

für k meint ich von 0 bis 3 ... sry Augenzwinkern

Augenzwinkern

und für den winkel muss ich dann leider passen unglücklich

unglücklich

04.02.2011, 14:53

corvus

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RE: Lösung in form z=a+bi

Zitat:

Original von evilbiddy

und für den winkel muss ich dann leider passen unglücklich

unglücklich

versuche herauszufinden, wo die komlexe Zahl a= 16 + 0*i
in der Gauss-Ebene herumliegt ..
und welches Argument (dh welcher Winkel) gehört wohl zu diesem a?

ok?

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04.02.2011, 14:56

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
muss ich mir das dann für jede aufgabe neu überlegen oda gibts da so ne art rezept nach dem ich dann immer den winkel weiß ?
schreib morgen klausur, deswegen such ich grad die schnellsten möglichkeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.02.2011, 14:58

corvus

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RE: Lösung in form z=a+bi

Zitat:

Original von evilbiddy
ich grad die schnellsten möglichkeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

auf die Schnelle also: welcher Winkel passt denn nun zu a=16?
.

04.02.2011, 15:02

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
ganz ehrlich: kein ahnung unglücklich

unglücklich

04.02.2011, 15:09

corvus

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RE: Lösung in form z=a+bi

Zitat:

Original von evilbiddy
ganz ehrlich: kein ahnung unglücklich

unglücklich

geschockt

wo liegt denn der Punkt (16 ; 0) ?

und welcher Winkel (Winkelscheitel in (0 ;0) ) -
von der positiven reellen Achse aus gemessen gegen den Uhrzeigersinn! -
gehört zu (16 ; 0) ?

schau halt notfalls mal irgendwo nach
zB:
http://www.komplexe-zahlen.de/
da dann bei trigonometrischer Darstellung ..usw

.

04.02.2011, 15:13

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
asooo ... wenn ich dich jetzt richtig versteh, willst du darauf hinaus, dass der punkt (16/0) auf der y-Achse liegt und damit der winkel 90° ist bzw $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ ?!

04.02.2011, 15:28

evilbiddy

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RE: Lösung in form z=a+bi
toll, wenn ich das etz damit rechne kommt bei mir raus:

$\begin{eqnarray*} z_{0} = \sqrt[4]{16} \cdot (cos(\frac{1}{8}) + i \cdot sin(\frac{1}{8})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{16} = 2 \end{eqnarray*}$ das kann ich ja noch rechnen, aber da hörts dann auch schon wieder auf unglücklich

unglücklich

ich verzweifel langsam ... entweder ich stell mich grad übelst an oda ich bin zu blöd dazu traurig

traurig

04.02.2011, 15:50

Feynman-Fan1729

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Der Punkt 16,0i liegt nicht auf der y-,sondern auf der x-achse daher ist der winkel nicht $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}{2} \end{eqnarray*}$
sondern ...?

(Und nicht verzweifeln,das wird)

04.02.2011, 16:04

evilbiddy

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ach gott sry ... ja klar ich trottel, wenn der y-wert 0 ist, liegts logischerweise auf der x-achse ...sry, denkfehler! Hammer

Hammer

dann würds aber doch auf der positiven x achse liegen und somit der winkel 0 sein, oda net ??

04.02.2011, 16:29

Feynman-Fan1729

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ganz genau.
und wenn du einen schnellen weg haben willst, ohne viel nachzudenken,dann stell dir vor in welchem quadranten deine zahl liegt, errechne einfach den betrag deiner komplexen zahl und bilde dann arccos,arcsin von dem verhältnis von real/imaginärteil und betrag. Und einer von den beiden winkeln ist dann auch dein argument.

04.02.2011, 16:49

evilbiddy

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aber wenn ich das jetzt durchrechne mit dem winkel=0, dann kommt da ja 2 raus verwirrt

verwirrt

04.02.2011, 19:32

Feynman-Fan1729

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rechne doch mal 2^4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.02.2011, 13:07

evilbiddy

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oh man ... hatte vergessen, dass ich ja dann noch 2=z+i auflösen muss ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen danke!! Freude

Freude

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