Basis gesucht?

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Mila Auf diesen Beitrag antworten »
Basis gesucht?
Folgende Darstellungsmatrix einer linearen abbildung ist gegeben:



Gesucht ist die Basis, die diese Darstellungsmatrix in jene



überführt...

Ich habe mir gedacht, da die erste und zweite Matrix orthogonale Matrizen darstellen, über das charakteristische Polynom Eigenwerte, Eigenvektoren zu bestimmen und diese zu einer Orthonormalbasis zu normieren...

Unter Verwendung der ersten Matrix komme ich auf die Eigenwerte 1 und -1, jedoch habe ich Probleme die Eigenvektoren zu bestimmen...

hat jemand einen Tip...

lg
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da 1 Eigenwert ist, ist A-E singulär und es reicht die erste Zeile zur Lösung heranzuziehen.
Mila Auf diesen Beitrag antworten »

Jedoch, weiß ich grad trotzdem nicht, wie es dann weiter geht, stehe vielleicht auf dem Schaluch...sorry...


Also, hätte ich dann:



und wähle x frei: z.B. x = 1

Natürlich für beide Eigenwerte...usw.

Ich komme dann auf:





also ||v1||= 1 und ||v2||=1
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist grad schleierhaft, wie Du die Vektoren ermittelt hast.
ist bei mir äußerst selten 0

Einfacher wird es, wenn Du wählst.
Mila Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann halt in der Art:





Kann ich dann damit die Matrix überführen mit:

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ja, bzgl. dieser Basis hat die Matrix die gewünschte Form.
 
 
Mila Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das eben mal durchgeführt...aber ich komme da auf riesige Ausdrücke...

Noch eine Frage:

Kann man, wenn man S wählt als:




Die Inverse Matrix mit Hilfe der Einheitsmatrix so bestimmen:



Kam dann auf:



Oder geht das auch einfacher...:-)

glg und danke sehr
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst Du ausrechnen? Du kennst das Ergebnis doch schon.
Da und Eigenvektoren zum Eigenwert 1 bzw. -1 sind, ist und .
Mila Auf diesen Beitrag antworten »

Klar:-) Ich meinte ja auch nur, ob es möglich wäre...auch wenn man es nicht machen muss...aber vielen dank noch einmal...glg
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich wäre es möglich. Beim Invertieren würde ich dann aber eher auf die Formel für 2x2-Matrizen zurückgreifen.

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