Konditionszahlen

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Konditionszahlen
Meine Frage:
Sei gegeben durch

.

Weisen Sie nach, dass die Konditionszahlen für [d.h. p viel größer als q] durch 1 beschränkt sind.

Hinweis: Zeigen Sie, dass .

Meine Ideen:
Hierzu habe ich zunächst die Konditionszahlen berechnet und zwar nach folgender Formel:

.

Für die Aufgabe bedeutet das:



Nun zur 2. Konditionszahl.



Ich hoffe die Rechnungen und Resultate sind korrekt.

Wie sieht man jetzt, dass die obige Beschränkung gilt?

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das sieht?


EDIT:

Bei der ersten Konditionszahl würde ich sagen:
Da q>0 ist, ist Zähler<Nenner, somit ist der Ausdruck kleiner 1.
Größer als -1 ist er, da Nenner und Zähler positiv sind.

Die zweite Konditionszahl ist mir noch unklar.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Blick.
Zitat:


Wegen q>0 sieht man dies aus deiner Rechnung hier:



Der Nenner ist ja immer größer dem Zähler. Was mich nun wundert ist, dass in der gegebenen Abschätzung -1 bis 1 vorkommt. Habt ihr die Kondition wirklich mit Betrag definiert? verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Blick.
Ja, ich habe die Formel eben extra nachgeschlagen, so steht sie im Skript.

Ja, stimmt, diese erste Abschätzung ist relativ einfach.

Die zweite Konditionszahl ist schwerer abzuschätzen - finde ich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Blick.
Zitat:

.


Das g ist ein Tippfehler, oder?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Blick.
Ja, da habe ich mich vertan, entschuldige.

g soll q sein.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erster Blick.
Vielleicht ist meine Umformung, die ich vorgenommen habe, nicht so günstig.

Ich versuche nochmal, es etwas ausführlicher zu notieren:





Kann man daraus jetzt nicht irgendwas für die Aufgabe erkennen?

[Bin schon die ganze Zeit am Überlegen, aber ich sehe nicht, wie man nun zeigen kann, dass dieser Ausdruck kleiner als 1 ist.]
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zweiter Blick.
So, wer die Quelle kennt, hat die Macht. Big Laugh [Stoer-Burlisch, Seite 15]



Machen wir erst mal die partiellen Ableitungen. Da hatte ich ja noch nicht nachgerechnet.





Nun hat man eine Näherungsfehlerfortpflanzungsformel:



Die Summanden tauchen bei dir ja als Konditionen auf. Wir erhalten in dieser Notation



Nun kommt der entscheidende Trick. Da hab ich nun auch erst mal nachrechnen müssen. Und wäre auf die Idee ohne das Ziel zu kennen wohl auch nicht gekommen. Mit der dritten binomischen Formel machen wir aus



Und haben damit:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweiter Blick.
Danke, damit folgt, dass der Ausdruck kleiner 1 ist, weil wieder der Nenner größer als der Zähler ist.


Diese Fehlerfortpflanzungsformel, die Du genannt hast, lief bei uns einfach unter "relativer Fehler, mit dem sich Fehler in x auf das Ergebnis auswirken bzw. fortpflanzen". In dieser Formel tauchen ja die Konditionszahlen als Faktoren auf.

Die müssten doch die relativen Fehler der x meinen, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweiter Blick.
Ja, das sind die relativen Fehler.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweiter Blick.
Vielen Dank nochmal.

Tanzen


Wirklich großartig Deine Hilfe.
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