Gruppen-Beweis

26.11.2006, 23:03

timadler

Gruppen-Beweis

Hey zusammen,

ich verstehe worum es in dieser Aufgabe geht:

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Es sei G eine Gruppe mit der Operation $\begin{eqnarray*} \circ : G \times G \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Dann heißt U eine Untergruppe von G, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a \circ b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{a} \in U \end{eqnarray*}$ . (inverses Element, d.h. $\begin{eqnarray*} a \circ \bar{a} = e \end{eqnarray*}$ wobei e das neutrale Element in G).

Zu zeigen:

U ist mit der auf G gegebenen Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ selbst wieder eine Gruppe.

und

Sei U eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+ ) \end{eqnarray*}$ , so gibt es stets ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U = \{ z\cdot m : z \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ . U ist also die Menge der ganzzahligen Vielfachen.
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Ich weiss allerdigs nicht genau, wie ich das Beweistechnisch angehen soll: Beim ersten ist ja wieder zu zeigen, dass es innerhalb von U wieder neutrale und inverse Element gibt und Assoziativität und Kommutativität gilt. Aber so abstrakt, weiss ich nicht, wie ich das schreiben soll.

Das zweite finde ich wiederum so einleuchtend, dass ich gar nicht weiss, was ich da sagen soll. Muss ich da nur zeigen, dass solche Elemente dann wieder in Z liege, oder was?

Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß, Tim

27.11.2006, 18:31

mercany

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28.11.2006, 18:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von timadler
Ich weiss allerdigs nicht genau, wie ich das Beweistechnisch angehen soll: Beim ersten ist ja wieder zu zeigen, dass es innerhalb von U wieder neutrale und inverse Element gibt und Assoziativität und Kommutativität gilt. Aber so abstrakt, weiss ich nicht, wie ich das schreiben soll.

Kommutativität muss doch gar nicht gelten! Es soll doch nur gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Gruppe (und nicht, dass es eine abelsche Gruppe) ist.
Damit $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, musst du folgende Dinge zeigen:

1. Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\circ b\in U \end{eqnarray*}$ .
2. Für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c \end{eqnarray*}$ .
3. Es existiert ein Element $\begin{eqnarray*} e\in U \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a\circ e=e\circ a=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ gilt.
4. Zu jedem Element $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ gibt es ein Inverses Element $\begin{eqnarray*} \overline a\in U \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a\circ \overline a=\overline a\circ a=e \end{eqnarray*}$ ist.

Die erste Sache sollte klar sein. Woraus könnte wohl die zweite Sache folgen? Und welches neutrale Element könnte dieses gesuchte $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ wohl sein? Die vierte Eigenschaft ergibt sich im Prinzip auch direkt aus der Definition der Untergruppe.
Die zweite Aufgabe ist doch an sich klar und deutlich formuliert oder nicht?! Du musst halt zeigen, dass jede Untergruppe von der Form $\begin{eqnarray*} \{\ldots,-5m,-4m,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,4m,5m,\ldots\} \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$ ist das z.B. $\begin{eqnarray*} \{\ldots,-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,\ldots\} \end{eqnarray*}$ . Woher weißt du denn z.B., dass eine Untergruppe nicht von der Form $\begin{eqnarray*} \{0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\ldots\} \end{eqnarray*}$ sein kann?

Gruß MSS

29.11.2006, 13:28

timadler

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Also beim ersten habe ich jetzt folgendes:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \circ c \in U \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} a \circ b \circ c \in U \end{eqnarray*}$ . Es gilt also also auch $\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \end{eqnarray*}$ -> Assoziativität

Nach Aufgabenstellung lässt sich $\begin{eqnarray*} a \circ \bar{a} = e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element finden. D e neutrale in G und $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ ist auch e neutral in U -> neutrales Element

Ebenfalls nach Aufgabenstellung existiert ein $\begin{eqnarray*} \bar{a} \in U \end{eqnarray*}$ als inverses Element zu $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ -> inverses Element

U ist somit eine Gruppe

Beim zweiten:

$\begin{eqnarray*} U \subseteq (\mathbb Z,+)\\U=\{z\cdot m:z\in \mathbb Z\}\\+: \mathbb Z \times \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z\\ U = \{m_{0}...(z-1)m_{0},(z^+)m_{0}\}\\U = \{m_{0},m_{0}+m_{0},m_{0}+m_{0}+m_{0}...\sum_{1}^{z^{+}}~m_{0} \} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \mathbb N_{0} \subseteq \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist U abgeschlossen und somit existiert ein z, wie gefordert.

29.11.2006, 16:14

Mathespezialschüler

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Ich sehe gerade, dass in der Definition noch etwas fehlt: Es muss $\begin{eqnarray*} U\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ sein!

Zitat:

Original von timadler
Also beim ersten habe ich jetzt folgendes:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \circ c \in U \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} a \circ b \circ c \in U \end{eqnarray*}$ . Es gilt also also auch $\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \end{eqnarray*}$ -> Assoziativität

Wie ist denn $\begin{eqnarray*} a\circ b\circ c \end{eqnarray*}$ definiert? Du weißt ja noch gar nicht, dass das Assoziativität gilt, also musst du da irgendwie klammern. Und was bringt es dir, wenn du weißt, dass das in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt? Daraus folgt die Assoziativität nicht direkt.
Zum neutralen Element: Das sieht zwar an sich ganz gut aus, aber du musst es etwas strukturierter aufschreiben und vor allem genau sagen, was woraus folgt.
Was du bei der zweiten Aufgabe gemacht hast, verstehe ich absolut nicht. Kannst du das mal mit Formeln und Worten beschreiben!?

Gruß MSS

29.11.2006, 18:54

timadler

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Also, wie genau ich die Assziativität nachweise kann ich Dir dann leider nicht sagen. Ich dachte das folgt daraus, dass für $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ hier keine Präzedenzen oder sowas gegeben ist.

Beim neutralen Element: Was genau soll ich denn da noch strukturierter aufschreiben? Ist doch eigentlich alles gesagt, oder nicht?

Zum zweiten:
Ja, hier habe ich einfach nur versucht meine Überlegung dazu, dass diese Eigenschaft ja wohl tatsächlich gelten muss (finde ich intuitiv einsichtig) in Mathematik verklausulieren. D.h. zeigen, dass es sich um eine Addition handelt und diese entsprechend auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ definiert ist. Ich nehme da gerne Gegenvorschläge an smile

29.11.2006, 21:12

Mathespezialschüler

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Im Prinzip musst du überall $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ benutzen! Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c\in U \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann liegen sie auch alle in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ! Und da in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Assoziativgesetz gilt, gilt es auch für diese drei Elemente von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , also folgt:

$\begin{eqnarray*} a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von timadler
Nach Aufgabenstellung lässt sich $\begin{eqnarray*} a \circ \bar{a} = e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element finden.

Hier müsstest du noch ausführen, warum das aus den Voraussetzungen folgt! Das geht so: Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} U\neq \varnothing \end{eqnarray*}$ . Dann existiert also ein $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ . Dann muss nach Voraussetzung wiederum $\begin{eqnarray*} \overline a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen. Und daraus wiederum folgt, dass $\begin{eqnarray*} a\circ\overline a=e \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt. Jedes $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ liegt auch in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und damit gilt $\begin{eqnarray*} a\circ e=a \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} e\in U \end{eqnarray*}$ liegt, ist $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ damit auch neutrales Element von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von timadler
Zum zweiten:
Ja, hier habe ich einfach nur versucht meine Überlegung dazu, dass diese Eigenschaft ja wohl tatsächlich gelten muss (finde ich intuitiv einsichtig) in Mathematik verklausulieren. D.h. zeigen, dass es sich um eine Addition handelt und diese entsprechend auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Was soll sich um eine Addition handeln? Wie ist denn bei dir eine Addition allgemein definiert? Also wie kann man zeigen, dass etwas eine "Addition" ist?
Sorry, aber ich vermute, dass du nur zeigen willst, dass jede der Mengen dieser Form mit der Addition aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist. Du musst aber auch die andere Richtung zeigen, d.h.: Wenn $\begin{eqnarray*} (U,+) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist, dann ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von der gegebenen Form.

Gruß MSS

29.11.2006, 22:58

timadler

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OK, dass sehe ich ein. Darf ich noch fragen wo man sehen kann, dass Assoziativität auch in G gilt? Ich meine, das steht ja nun nicht explizit da.

Beim zweiten kann ich Dir jetzt leider nicht genau folgen. Wenn Du mal das Schema für so einen Beweis skizzieren könntest, dann würde ich mich mal versuchen.

29.11.2006, 23:14

Mathespezialschüler

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Die Assoziativität gilt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist ...
Nimm an, $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sei mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ . Wie du in der ersten Aufgabe gesehen hast, muss das neutrale Element auf jeden Fall in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen, d.h.: $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ . Unterscheide nun zwei Fälle:
1. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist das einzige Element von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Für welches $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gilt dann wohl diese Darstellung?
2. Es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} 0\neq u\in U \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} u<0 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss auch das Inverse von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegen, also $\begin{eqnarray*} \overline u\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline u>0 \end{eqnarray*}$ . Im anderen Falle ist $\begin{eqnarray*} u>0 \end{eqnarray*}$ . Es gibt also auf jeden Fall ein Element $\begin{eqnarray*} v\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Sei

$\begin{eqnarray*} m:=\min_{\substack{v\in U \\ v>0}}~\{v\} \end{eqnarray*}$ .

Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} U=\{m\cdot z\ |\ z\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

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