Liegen die Punkte in einer Ebene?

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weißesBlatt Auf diesen Beitrag antworten »
Liegen die Punkte in einer Ebene?
Hallo.

Überprüfe, ob die Punkte A, B, C, D in einer Ebene liegen.

1.
A(2|-5|0) B(3|4|7) C(4|-4|3) D(-2|10|5)

Was ist mit "in einer Ebene" gemeint?
Etwa das alle Punkte auf einer Linie liegen?

Dankeschön.
matheprofi321 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du eine Ebenengleichung aufstellen? Falls ja, musst du dies machen für die Punkte A, B und C.
Danach prüfst du, ob der Punkt D auf dieser Ebene liegt!
weißesBlatt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile

Wie sieht eine allg. Ebenengleichung denn aus?
Sowas hatten wir bis jetzt noch nicht, anders geht es nicht oder?

Danke smile
matheprofi321 Auf diesen Beitrag antworten »



mit



usw.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sowas hatten wir bis jetzt noch nicht, anders geht es nicht oder?


Auch ein Ansatz über ax+by+cz=d wäre möglich (Ebene in Koordinatenform).
Durch Einsetzen der 4 Punkte entsteht ein LGS.

Oder arbeitest mit linearer (Un)Abhängigkeit, fallls ihr das schon hattet.
weißesBlatt Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten.

Aber ich denke mein größes Problem ist es erstmal die Aufgabe bildlich oder anschaulich zu verstehen.
Was passiert den anschaulich wenn die Punkte in einer Ebene liegen.
Was ist denn die Ebene eigentlich?
Ich dachte das wäre der Raum, den z.B. mein 3-Dimens. Koordinatensysten zeigt?

Wenn sie in einer Ebene liegen sollten sind sie vermutlich linear abhängig...

Danke smile
 
 
duster Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beginne mal mit etwas anderem.

Wenn du eine Gerade im dreidimensionalen Raum hast, dann liegen zwei Punkte IMMER auf einer Gerade und zwar geht die Gerade in dem Fall immer durch beide Punkte hindurch, oder? Wenn du aber noch einen dritten Punkt gesagt bekommst muss der nicht immer auch auf der Gerade liegen oder? Er kann aber. Hierfür müsste man eine Geradegleichung aufstellen und mittels einem Linearen Gleichungs System ermitteln ob der Punkt auf der Gerade liegt, ist dir dieses Verfahren bekannt?

Nun drei Punkte in einem dreidimensionalen Raum liegen IMMER auf einer Ebene. Zwei unterschiedliche Punkte definieren eine Gerade eindeutig, der dritte unterschiedliche Punkt macht es zu einer Ebene. Bei 4 Punkten kann es also vorkommen, dass ein Punkt nicht in der von den anderen drei Punkten erzeugten Ebene liegt. Dies sollst du überprüfen.

Dies kann man wesentlich leichter an einer Tafel erklären, mach dir viele Zeichnungen und versuche es dir vorzustellen. Mach dich erstmal mit Geraden vertraut und wage dich anschließend an die Ebenen.

Du könntest ja mal prüfen, ob Punkt C auf der Gerade AB liegt!?

Ich hoffe ich konnte es dir ein wenig verständlicher machen.

Gruß
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme die Vektoren AB, AC und AD und prüfe mit diesen auf lineare Abhängigkeit.

mY+
weißesBlatt Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Erklärung duster smile

Du hast mir ein großes Stück weiter geholfen smile

Zitat:
Bei 4 Punkten kann es also vorkommen, dass ein Punkt nicht in der von den anderen drei Punkten erzeugten Ebene liegt.


Dir entnehmen kann ich also, dass 2 Punkte eine Gerade und 3 Punkte eine Ebene bilden.
Und der 4. muss halt nicht in dieser Ebene liegen, kann aber in der Ebene liegen.
Wie ist denn dann der Maßstab für die erzeugte Ebene?
Ich brauche ja einen Wertebereich um entscheiden zu können, ob er nun in diesem Bereich liegt, oder nicht.

Könnte ich mir dir Ebenen so vorstellen?
[attach]18014[/attach]

Zitat:
Bestimme die Vektoren AB, AC und AD und prüfe mit diesen auf lineare Abhängigkeit.






I. * 2
I. - II.
Führt zu:



I. * 2
I. + III.
Führt zu:




II. * 3
II. - III.
Führt zu:



r=s=t=0
Sie sind linear unabhängig, dadurch würde ich vermuten, dass sie nicht in einer Ebene liegen.

Dankeschön smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von weißesBlatt

Die Rechnung ist richtig, bis einschließlich hierhin.

Zitat:
Original von weißesBlatt
r=s=t=0
Sie sind linear unabhängig, dadurch würde ich vermuten, dass sie nicht in einer Ebene liegen.

Völlig falsche Schlussfolgerungen. unglücklich

Was bedeutet diese letzte "Nullzeile" in deinem Gauß-Schema wirklich?
weißesBlatt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort HAL 9000 smile

0r + 0s + 0t = 0

Moment..
Egal welchen Wert ich für r,s oder t einsetze, es kommt immer Null bei raus und 0 = 0 ist eine wahre Aussage.

Das heißt es ist genau umgekehrt, es gibt unendlich viele Lösungen für r,s und t, somit sind die Vektoren linear Abhängig.

Ich hoffe so ist es besser?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es.
hYcode Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, eine letzte habe ich noch.

2.
Überprüfe, ob die Punkte A, B, C, D in einer Ebene liegen.
A(1|1|1) B(5|4|3) C(-11|4|5) D(0|5|7)





I. * 3
I. + II.
Führt zu:



I. / 12
I. + III.
Führt zu:



II. * 4.75
III. * 12
II. - III.
Führt zu:



0r + 0t + 16.625t = 0

Nur wenn t = 0 ist, wird es eine wahre Aussage.
Jedoch können r und t beliebige Werte annehmen.

Es ist aber doch nur linear unabhängig, wenn r=s=t=0 vorliegt, hier scheint es nicht so zu sein, demnach ist es wieder linear abhängig, da es nicht nur die triviale Lösung gibt?

Dankeschön.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jedoch können r und t beliebige Werte annehmen


Überdenke diese Schlussfolgerung nochmal smile
hYcode Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich hatte mich verschrieben:

Zitat:
0r + 0t + 16.625t = 0


0r + 0s + 16.625t = 0

Es ist eigentlich egal welche Werte ich hier für r oder s verwende, sie werden immer mit 0 multipliziert und ergeben somit 0.
Beim t hingegen muss man 0 verwenden, da sonst keine wahre Aussage zu Stande kommt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war natürlich auch ein Fehler, aber es gibt noch einen weiteren.
Du darfst dich nicht zu sehr in diese letzte Gleichung klammern.
Natürlich entsteht nun t=0, aber viel entscheidender ist, was nun dadurch in den anderen beiden Zeilen automatisch für r und s entsteht Augenzwinkern
hYcode Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann schaue ich mir die anderen Zeilen nochmal genauer an.

Wenn t also gleich 0 ist dann sieht es weiter so aus:

0r + 12s + (0*10) = 0

Das heißt auch s muss hier 0 sein.
Und das gleiche wiedeholt sich dann für das r.

Demnach ist r=s=t=0,
und somit ist es linear unabhängig.

Die Punkte liegen also nicht in einer Ebene.

So vielleicht besser?

Danke Bjoern smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es richtig.
Nur sage nicht "und somit ist es linear unabhängig", denn was meinst du mit "es" ?
Die 3 Vektoren sind linear unabhängig, da der Nullvektor nur trivial durch diese 3 Vektoren dargestellt werden kann.
Es ist also nicht möglich mit diesen Vektoren eine geschlossene Vektorkette zu erzeugen, denn eine solche geschlossene Vektorkette beschreibt quasi den Nullvektor.
Das bedeutet also, dass die 3 Vektoren und damit auch die 4 gegebenen Punkte nicht in einer Ebene liegen können.

Du hast jetzt die 2 auftretenden Fälle für 3 Vektoren kennen gelernt (linear abhängig und linear unabhängig).
Erkennst du anhand der jeweils letzten Matrix woran man evtl sofort erkennen könnte welcher Fall nun vorliegt ?
hYcode Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir jeweils die letzte Matrix der beiden Fälle ansehe, fällt mir auf,
dass wenn ich es schaffe in der ganzen letzten Zeile Nullen zu erzeugen,
die 3 Vektoren linear abhängig sind.
Schaffe ich es nicht sind die Vektoren linear unabhängig.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
Eine so genannte "ganze Nullzeile" lässt hier also direkt auf lineare Abhängigkeit der 3 Vektoren schließen.
Und wenn eine so genannte "Dreiecksmatrix" entsteht, dann kann zwangsweise auch nur die Null-Lösung resultieren.

Preisfrage:

Was kann man über die lineare (Un)Abhängigkeit von 4 (oder mehr) Vektoren im Dreidimensionalen sagen ?
hYcode Auf diesen Beitrag antworten »

4 oder mehr Vektoren sind im Dreidimensionalen Raum immer linear abhängig.

Ich habe eben auch nochmal rumgezeichnet:
Durch den vierten Vektor lässt sich zumindest im DREIdimensionalen Raum, jeder einzelne Vektor darstellen.
Im Zweidimensionalen sind 3 oder mehr Vektoren immer linear abhängig.

Es gibt 3 Dimensonen und mit 3 Vektoren kann ich den vierten problemlos darstellen.
Ich weiß nicht, ob das richtig erklärt ist verwirrt

Großes Dankeschön an dich Björn und die Anderen smile
Schönen Abend smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön, das wäre eine geometrische Erklärung.
Ich dachte zwar du argumentierst jetzt eher mit der Matrix bzw dem LGS, weil wir da gerade dran waren (algebraische Erklärung), aber so geht es natürlich auch Augenzwinkern
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