Orthogonaler Vektor

27.11.2006, 17:11

ErRoRr-FuNCtiOn

Orthogonaler Vektor

Die Aufgabe ist es, einen Vektor zu finden der senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ steht und die Länge 20 hat.
Sowie zu bestimmen wie viele solcher Vektoren es gibt.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\-14 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Kreuzprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist orthogonal zu beiden Vektoren.
Bestimmt man dessen Länge aber mit der "Euklidschen Länge", so sieht man dass die Länge 16,61 ist.

Mein Problem ist es nun,wie komm ich auf den othogonalen Vektor mit der Länge 20? Ich hab mir mal überlegt dass das Kreuzprodukt vllt nur ein Richtungsvektor ist und ich ein Vielfaches von ihm suchen muss, sodass die Länge 20 ergibt. Weiß aber nicht wie ich das anstellen kann!

Wäre echt toll wenn mir jemand helfen könnte.

27.11.2006, 18:17

Dual Space

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RE: Orthogonaler Vektor
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{20}{|a\times b|}(a\times b) \end{eqnarray*}$ hat die Länge 20. Augenzwinkern

27.11.2006, 21:32

ErRoRr-FuNCtiOn

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Irgendwie haut das aber bei mir nicht hin wenn ich es ausrechnen will! So wie es da steht sieht es ja schon logisch aus aber beim rechnen stimmts bei mir leider nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{20} {|a \times b|} * (a \times b) = \frac{20} {\sqrt{4²+(-14)²+8²}} * \begin{pmatrix} 4 \\ -14 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,815... \\ -16,854... \\ 9,630... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann mir da jemand weiterhelfen? Hab da doch bestimmt was beim aufschreiben falsch gemacht oder?

28.11.2006, 16:18

ErRoRr-FuNCtiOn

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Hat niemand einen Vorschlag? Ich komm hier nicht weiter unglücklich

28.11.2006, 16:20

Mazze

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Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4,815... \\ -16,854... \\ 9,630... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die Länge 20 wenn Du mal nachrechnest...

28.11.2006, 17:00

ErRoRr-FuNCtiOn

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Stimmt ja, ist ziemlich genau. hab da wohl geschlafen! Jetzt aber zu der Frage wieviele dieser Vektoren es gibt.
Ich hab mir überlegt dass es nur ein Vektor sein kann mit den selben Zahlenwerten, d.h. dass nur das Vorzeichen ( + oder - )vertauscht werden könnte,da es sich durch das quadrieren wieder aufhebt und man somit die Anzahl der Möglichlkeiten 3! , das heißt 6 mögliche Vektoren mit der Länge 20 hat. Iist das richtig oder Denkfehler?

28.11.2006, 17:16

Mazze

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Ist die Frage wieviel orthogonale Vektoren oder wieviele Vektoren überhaupt?

28.11.2006, 17:17

yeti777

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Ich sehe nicht, wie du auf 6 mögliche Vektoren kommst.

Die Vektoren a und b spannen eine Ebene E auf. Auf dieser Ebene E steht der von dir berechnete Vektor senkrecht und hat den Betrag 20. Dieser Vektor kann jetzt nur noch in den "oberen* Halbraum zeigen oder in den "unteren".

Gruss yeti

28.11.2006, 17:19

ErRoRr-FuNCtiOn

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Ja die Frage gibt es auch, habe sie aber leider nicht aufgeschrieben.
Das mit den 3! Vektoren kann ja auch nicht stimmen hab ich gerade bemerkt.
Hab gerade keinen Plan was ich wieter versuchen könnte

...oder ist es möglich dass man nur noch einmal alles Vorzeichen des Vektors vertauschen kann und es somit nur noch ein weiterer Vektor gibt? verwirrt

28.11.2006, 17:50

yeti777

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Die von den Vektoren a und b aufgespannte Ebene E teilt den $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ in zwei Hälften. Der Vektor a x b steht normal auf der Ebene E. Mathematisch ist die Richtung des Normalenvektors bestimmt, indem die 3 Vektoren a, b, a x b ein Rechtssystem bilden müssen. In diesem Sinne hat die Ebene E also nur einen Normalenvektor.

Wenn du jetzt aber nicht vom Normalenvektor der Ebene sprichst, sondern von allen möglichen Vektoren, die auf der Ebene stehen, so gibt es unendlich viele. Du kannst
a) das Vorzeichen von a x b wechseln oder
b) die Länge variieren

Gruss yeti

28.11.2006, 17:58

ErRoRr-FuNCtiOn

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Und woher weiß ich ob es sich um einen Normalenvektor handelt? In der Fragestellung steht dass der Vektor 20 lang sein muss! und wie viele solcher Vektoren es gibt.

Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe,dann gibt es unendlich viele Vektoren mit der Länge 20 falls es sich nicht um den Normalenvektor handelt, ansonsten gibt es nur diesen einzigen. Hab ich das so richtig verstanden?

28.11.2006, 18:50

yeti777

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Und woher weiß ich ob es sich um einen Normalenvektor handelt? In der Fragestellung steht dass der Vektor 20 lang sein muss! und wie viele solcher Vektoren es gibt. (1)

Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe,dann gibt es unendlich viele Vektoren mit der Länge 20 falls es sich nicht um den Normalenvektor handelt, ansonsten gibt es nur diesen einzigen. Hab ich das so richtig verstanden? (2)

Zu (1): Dass der von dir berechnete Vektor a x b wirklich normal zu den Vektoren a und b steht, kannst du mit dem Skalarprodukt überprüfen. Es muss sich $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot ({\vec a}\times{\vec b})= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \cdot ({\vec a}\times{\vec b})= 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Normalerweise normiert man den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ auf die Länge Eins, dh. $\begin{eqnarray*} \vec t = \frac { {\vec a}\times{\vec b} } {\mid {\vec a}\times{\vec b} \mid } \end{eqnarray*}$ , wie es Dual Space schon angedeutet hat. Dieser Vektor ist einzig in dem Sinne, dass er der Einzige ist, der auf der Ebene E senkrecht steht, den Betrag Eins hat und zudem mit den Vektoren a und b ein Rechtssystem bildet. Wenn du jetzt anfängst, die Länge zu variieren und mit (-1) zu multiplizieren, kannst du natürlich unendlich viele Vektoren haben, die immer noch senkrecht auf der Ebene stehen.

Zu (2): Nein. Da habe ich mich oben klar falsch ausgedrückt.

Ich denke aber, der ursprüngliche Sinn der Aufgabe war: Bestimmen Sie den Normalenvektor der Ebene und normieren Sie ihn auf die Länge 20. Dieser Vektor existiert nur einmal, da die Bedingungen, wie er auszusehen hat, festgelegt sind. Siehe dazu den Beitrag von Dual Space.

Gruss yeti

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