Erwartungswert und erzeugende Funktion

08.02.2011, 18:20	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und erzeugende Funktion Ich lerne gerade für meine Stochastik Klausur, aber mir fehlt leider die Lösung zu einer Aufgabe und ich schaffe es nicht, sie selbst zu produzieren. Also folgendes: Aufgabe inkl. Definition der erzeugenden Funktion siehe Anhang. Vorneweg: Wenn da steht, dass $\begin{eqnarray} \lim\limits_{s \nearrow 1}{\varphi_X'(s)} \end{eqnarray}$ existiert, heißt dies, dass der Ausdruck endlich ist? Oder würde man dies auch sagen, wenn der Limes gegen +unendlich geht? Ich denke darüber nach, weil der Aufgabesteller schon häufiger formale Fehler eingebaut hat, wo er etwas anderes geschrieben hat als er eigentlich meinte, und mich das schon einige Zeit gekostet hat. Der Erwartungswert existiert hier genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \|k\| \cdot P(X=k)= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k) = \varphi_X'(1) < \infty \end{eqnarray}$ ist. Ein weiterer Gedanke: Wenn $\begin{eqnarray} E[X \cdot s^{X-1}] \end{eqnarray}$ existiert, so wäre $\begin{eqnarray} E[X \cdot s^{X-1}] = \varphi_X'(s) \end{eqnarray}$ , aber das liefert mir keine weiteren Erkenntnisse, oder? Ich habe auch folgendes überlegt: Wenn dieser Limes existiert, dann geht er offenbar gegen $\begin{eqnarray} \varphi_X'(1) \end{eqnarray}$ (richtig?), insbesondere existiert dann $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \in \mathbb N} \varphi_X'(x_n) \end{eqnarray}$ für jede mon. aufsteigende Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mit Grenzwert 1. Evtl. könnte ich durch geeignete Wahl so einer Folge zum Ergebnis kommen? Dies ist eigtl. nur eine Teilaufgabe von dreien und davon auch nur einer von zwei Unterpunkten. Also so schwer kann es echt nicht sein, aber es verwirrt mich zu sehr. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
09.02.2011, 13:38	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und erzeugende Funktion Ich kenne das nur so, dass die Existenz des Erwartungswert dessen Endlichkeit meint. Wenn du einfach mal "naiv" die Ableitung berechnest und 1 einsetzt, dann solltest du sehen, dass du da den Erwartungswert stehen hast. Was du also begründen müsstest wäre, wie du die Ableitung der erzeugenden Funktion berechnest. Gruß MI
09.02.2011, 19:59	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{s \nearrow 1} \varphi_X'(s) = \lim\limits_{s \nearrow 1} \frac{\varphi(1)-\varphi(s)}{1-s} = \lim\limits_{s \nearrow 1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1 - s^k}{1-s} \cdot \mathbb P(X=k) = \lim\limits_{s \nearrow 1} \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb P(X = k) \cdot \sum_{i=0}^{k-1} s^i \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt einfach den Limes vor die rechte Reihe ziehen? $\begin{eqnarray} = \sum_{k=0}^{\infty} \mathbb P(X = k) \cdot \lim\limits_{s \nearrow 1} \sum_{i=0}^{k-1} s^i \end{eqnarray}$ Und dann so argumentieren: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{k-1} s^i \end{eqnarray}$ ist stetig für alle k, also $\begin{eqnarray} \lim\limits_{s \nearrow 1} \sum_{i=0}^{k-1} s^i = \sum_{i=0}^{k-1} 1^i = k?? \end{eqnarray}$ Damit hätte ich den Erwartungswert.
11.02.2011, 10:20	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, dass ich erst so spät antworte: Ich würde folgendermaßen vorgehen: Was du da stehen hast, ist im Endeffekt eine Potenzreihe. Der Konvergenzradius wird wohl mindestens 1 sein (Stichwort geometrische Reihe) Damit sollte es reichen mit einem Satz aus der Analysis die Ableitung mittels gliedweise Differentiation zu bilden. Der Satz sagt dir implizit, dass du die Grenzwerte in deiner zweiten Zeile so vertauschen darfst - so, wie du es machst, musst du aber noch begründen warum. Damit hast du natürlich die Ableitung. Dann kannst du mit deinem Stetigkeitsargument kommen, bzw. mit Einsetzen. Gruß MI

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