maximaler Genauigkeitsgrad

08.02.2011, 19:11

Sinnlos

maximaler Genauigkeitsgrad

Meine Frage:
Hi Leute,
weiß nicht so recht wie ich das lösen soll
Es dreht sich um folgende Aufgabe:
Betrachten Sie die Quadraturformel $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = \frac{b-a}{4} \left(f(a)+3f(\frac{a+2b}{3}) \right) \end{eqnarray*}$

Bestimmen siedas maximale n mit der Eigenschaft, dass alle Polynome vom Grad n durch die Quadraturformel exakt integriert werden

Meine Ideen:
zu meiner Idee:

joa das müsste doch gelöst werden soweit ich das verstehe

$\begin{eqnarray*} Q(p_{n})=\int_a^b \! p_{n}(t) \, dt = \frac{b-a}{4} (\sum\limits_{k=0}^n \alpha_{i} a^{n} + 3\sum\limits_{k=0}^n \beta_{i}(\frac{a+2b}{3})^{n}) \end{eqnarray*}$
aber wie mache ich das?

08.02.2011, 19:14

tigerbine

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RE: maximaler Genauigkeitsgrad

Zitat:

Bestimmen siedas maximale n mit der Eigenschaft, dass alle Polynome vom Grad n durch die Quadraturformel exakt integriert werden

Es ist doch nur eine "aufsteigende Kette" von Basispolynomen abzuarbeiten mit der Formel, 1,x,x², ...

08.02.2011, 19:18

Sinnlos

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heißt das, dass ich einfach f(x)=1, f(x)=x, f(x)=x^2 einsetzen muss?

08.02.2011, 19:22

tigerbine

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Und testen, ob die Formel das exakte Integral liefert.

08.02.2011, 21:49

Sinnlos

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So nach ner Essenspause jetzt meine Lösung:

Für f(x)=1 erhält man
I(f) = ... = b-a
Q(f) = ... = b-a

Für f(x)=x
I(f) = ... = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} b^{2} - \frac{1}{2} a^{2} \end{eqnarray*}$
ebenso für
Q(f) = ... = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} b^{2} - \frac{1}{2} a^{2} \end{eqnarray*}$

für f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
I(f) = ... = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{4} ab^{2} +\frac{1}{12}b^{3} \end{eqnarray*}$
hingegen
Q(f)= ... = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} b^{3} - \frac{1}{3} a^{3} \end{eqnarray*}$

daraus folgt das der exaktheitsgrad 2 ist

Wäre das so in Ordnung auch von der Schreibweise

08.02.2011, 21:54

tigerbine

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Wenn du in den ... richtig gerechnet hast. Augenzwinkern

08.02.2011, 21:55

Sinnlos

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Da bin ich mir recht sicher... Augenzwinkern

Danke für deine Hilfe Freude

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