Erwartungswert Umformungen

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Monika21 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Umformungen
Hallo zusammen,

kann mir jemand erklären warum und nach welchen Regeln diese Umformung der Integralgrenzen zulässig ist?

Hier ist die Aufgabe:
[attach]18017[/attach]

Danke im Voraus!


LG,
Monika
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Also von Zeile 1 auf Zeile 2 wird t durch ersetzt, welches ja genau den Wert t hat.

Von Zeile 2 auf 3 wird das ds nur einen Schritt nach rechts gezogen.

Von Zeile 3 auf 4 wird die Integrationsreihenfolge geändert. Dazu müssen die Integralgrenzen so angepasst werden, dass noch über den selben Bereich integriert wird. Zuvor wandert das t von 0 bis oo und das s dann jeweils von 0 bis t für jedes dieser t. Jetzt will man halt das s frei wandern lassen über alle Werte, die es annimmt (0 bis oo) und das t dann in Abhängigkeit von s. Dadurch ergibt sich dann, dass man das t von s bis oo laufen lassen muss, um genau den selben Bereich abzudecken (zeichne es am besten auf, dann sieht man es leicht).

Im nächsten Schritt wird die Verteilungsfunktion F als Stammfunktion von f ins Spiel gebracht. Da f eine Dichte ist, gilt für alle s:



Also

da F die Stammfunktion von f ist.
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