Skalare Multiplikation

08.02.2011, 22:18

Walter Subject

Skalare Multiplikation

Meine Frage:
Ich soll für eine gegebene Definition der skalaren Multiplikation, die gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a \end{eqnarray*}$ ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\lambda^{2}\cdot \lambda _{n} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} \alpha _1 \\ ... \\ \alpha _n \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ prüfen ob folgende Regeln gültig sind.
1.) $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left(\gamma \cdot a\right)=\left(\lambda \cdot \gamma \right)\cdot a \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} 1\cdot a= a \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left(a+b\right)= \lambda \cdot a+ \lambda \cdot b \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} \left(\lambda + \gamma \right)\cdot a= \lambda \cdot a+ \gamma \cdot a \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weiß jetzt nicht ob ich das mit der Definition so richtig checke. Gilt die Definition für alle Skalare also auch für $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ oder ist da jetzt nur $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit gemeint. Ich weiß blöde Frage. Und zweitens würde ich gern wissen, ob ich das
$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2} \end{eqnarray*}$ in der Beweisführung beim letzten Schritt wieder rückverwandeln kann/muss. Also ich mach mal das Beispiel für das erste Distributivgesetz. Da hätte ich die Gleichung umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda ^{2}\cdot \alpha _{1}+ \lambda ^{2}\cdot \beta _{1} ,...,\lambda ^{2}\cdot\alpha _{n}+ \lambda ^{2}\cdot \beta _{n} \right) \end{eqnarray*}$ und das wäre dann ja das gleiche wie
$\begin{eqnarray*} \lambda ^{2}\cdot \left(\alpha _{1},...,\alpha _{n} \right)+ \lambda ^{2}\cdot \left(\beta _{1},...,\beta _{n} \right) \end{eqnarray*}$ . Ist das jetzt
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda \cdot a\right)+ \left(\lambda \cdot b\right) \end{eqnarray*}$ ? Also zieh ich die Wurzel aus lambda wenn ich das Gegenteil der skalaren Multiplikation mach. Wenn das so ist dann gelten doch alle vier Regeln, vorrausgesetzt die Definiton gilt nur für lambda. Zumindest hab ich mir das jetzt selber so zusammengerechnet. Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.

08.02.2011, 23:45

tigerbine

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RE: Skalare Multiplikation
Ich würde mich mal mit Punkt 4 befassen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(\lambda + \gamma \right)\cdot a= \lambda \cdot a+ \gamma \cdot a \end{eqnarray*}$

Nun bitte strikt an die Definition halten (Da ist ein Tippfehler drin). Sind die beiden Seiten dann wirklich gleich?

$\begin{eqnarray*} \left( (\lambda + \gamma)^{2} \cdot \alpha _{1},~\hdots ~,(\lambda + \gamma)^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \stackrel{?}=\left( \lambda ^{2} \cdot \alpha _{1},~\hdots ~,\lambda^{2}\cdot \alpha _{n} \right)+ \left( \gamma ^{2} \cdot \alpha _{1},~\hdots ~,\gamma^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$

09.02.2011, 03:20

Walter Subject

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Ok. Hab mich jetzt strikt an die Definition gehalten. Dann ist nur 4 falsch, falls ich das richtig gemacht hab, da das in Regel 4 Binome sind, was dann letztlich nicht geht. Bei Regel 3 ist es ja wieder anders, da ich eine Summe aus Vektoren habe und beim neutralen Element gehts auch. Und beim Assoziativgesetz komm ich letztlich auf $\begin{eqnarray*} \left(\lambda ^{2}\cdot \gamma ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\lambda ^{2}\cdot \gamma ^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left(\left(\lambda \cdot \gamma \right)^{2}\cdot \alpha _{1},...,\left(\lambda \cdot \gamma \right)^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ was dann doch letztlich $\begin{eqnarray*} \left(\lambda \cdot \gamma \right)\cdot a \end{eqnarray*}$ ist, oder?

09.02.2011, 03:29

tigerbine

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Zitat:

Original von Walter Subject
$\begin{eqnarray*} \left(\left(\lambda \cdot \gamma \right)^{2}\cdot \alpha _{1},...,\left(\lambda \cdot \gamma \right)^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$ was dann doch letztlich $\begin{eqnarray*} \left(\lambda \cdot \gamma \right)\cdot a \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Nö. $\begin{eqnarray*} \left(\lambda^2 \cdot \gamma^2 \right)\cdot a \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wobei ich mich frage, was das mit 3. zu tun haben soll.

09.02.2011, 15:10

Walter Subject

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Nö. $\begin{eqnarray*} \left(\lambda^2 \cdot \gamma^2 \right)\cdot a \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wobei ich mich frage, was das mit 3. zu tun haben soll.

Ich hab mich eigentlich auf 1. bezogen. Ich hab gedacht das Assoziativgesetz ist 1..

Also wenn das so ist dann ist doch eigentlich nur 2. gültig. Ich muss doch am Anfang bzw am Ende meiner Prüfung die linke bzw rechte Seite der Regel stehen haben. Und sofern ich das richtig gemacht hab ist ja nur bei 2. die Gleichung erfüllt. Weil ja $\begin{eqnarray*} 1\cdot a= \left(1^{2}\cdot \alpha _{1},...,1^{2}\cdot \alpha _{n} \right)= \left(\alpha _{1},...,\alpha _{n} \right)= a \end{eqnarray*}$
Bei den anderen Regeln hab ich immer quadratische Skalare, die ich dann doch nicht mehr wegbekomm. Ich wills nicht zu lang machen aber ich schreib jetzt mal die Prüfung für 3.
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left(a+ b\right)= \left(\lambda ^{2}\cdot\left(\alpha _{1}+ \beta _{1} \right),...,\lambda ^{2}\cdot \left(\alpha _{n}+ \beta _{n} \right) \right) \end{eqnarray*}$ jetzt darf ich ja das Distributivgesetz bei den einzelnen Komponenten anwenden, da es sich doch um Skalare handelt. Also $\begin{eqnarray*} = \left(\lambda ^{2}\cdot \alpha _{1}+ \lambda ^{2}\cdot \beta _{1},...,\lambda ^{2}\cdot \alpha _{n}+ \lambda ^{2}\cdot \beta _{n} \right)= \lambda ^{2}\cdot a+ \lambda ^{2}\cdot b \neq \lambda \cdot a+ \lambda \cdot b \end{eqnarray*}$
Bin ich da auf dem richtigen Dampfer oder muss/kann ich da nochmal umformen? Geh ich das überhaupt richtig an?

09.02.2011, 21:05

Walter Subject

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Zitat:

Original von Walter Subject

... jetzt darf ich ja das Distributivgesetz bei den einzelnen Komponenten anwenden, da es sich doch um Skalare handelt.

Damit meine ich natürlich das Distributivgesetz für relle Zahlen!!

09.02.2011, 22:52

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a := \left(\lambda ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\lambda^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$

"Man zieht den Skalar also als Quadrat in den Vektor rein."

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left(\gamma \cdot a\right) &&=\lambda \left(\gamma ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\gamma^{2}\cdot \alpha _{n} \right) && = \left(\lambda^2 \cdot \gamma ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\lambda^2 \cdot \gamma^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \left(\lambda \cdot \gamma \right)\cdot a && = \left((\lambda \cdot \gamma) ^{2}\cdot \alpha _{1},...,(\lambda \cdot \gamma)^{2}\cdot \alpha _{n} \right) && =\left(\lambda^2 \cdot \gamma ^{2}\cdot \alpha _{1},...,\lambda^2 \cdot \gamma^{2}\cdot \alpha _{n} \right) \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich, warum du es ohne ² notiert hast. 1 ist erfüllt. In dieser Art und Weise würde ich dann auch 2 bis 4 notieren. Wink

10.02.2011, 16:00

Walter Subject

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Super. Vielen Dank für die Hilfe. Jetzt hab ich es verstanden.

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